По предприятиям легкой промышленности Самарского региона получена информация

Построим поле корреляции ( Рис.1) и сформулируем гипотезу о форме связи между объемом выпуска продукции (Y) (млн.руб.) и объемом капиталовложений (Х)( млн.руб.).
Рис.1Поле корреляции
По расположению точек на поле корреляции можно предположить наличие прямой связи между объемом выпуска продукции (Y) (млн.руб.) и объемом капиталовложений (Х)( млн.руб.).
Оцените тесноту связи между объемом выпуска продукции (, млн. руб.) объемом капиталовложений (, млн. руб.) с помощью выборочного коэффициента корреляции. Проверьте его значимость (∝=0.1):
Проведя необходимые вычисления, получим:
Проверим значимость выборочного коэффициента корреляции. Для этого выдвигаем нулевую гипотезу от отсутствии линейной зависимости между выпуском валовой продукции (Y) (млн.руб.) и темпом прироста капиталовложений (Х)(%), то есть:
Гипотеза проверяется с помощью случайной величины:
которая имеет распределение Стьюдента k = n – 2 =10 – 2 =8 степенями свободы.
По выборочным данным найдем наблюдаемое значение критерия Стьюдента:
По таблице критических точек распределения Стьюдента находим критическое значение t-критерия:
Сравниваем . Так как ,то нулевая гипотеза об отсутствии линейной связи между выпуском валовой продукции (Y) (млн.руб.) и темпом прироста капиталовложений (Х) (%) отвергается при 10% уровне значимости. Принимается гипотеза , то есть коэффициент корреляции значим, признаки Х и Y коррелированы.
Выборочный коэффициент корреляции () близок к единице и имеет положительный знак. Это значит, что зависимость между выпуском валовой продукции (Y) (млн.руб.) и темпом прироста капиталовложений (Х) (%) тесная и прямая .
Рассчитаем оценки параметров линейной модели:
методом наименьших квадратов (МНК). Оценкой модели по выборке является выборочное уравнение регрессии
(1)
Согласно МНК:
Подставим значения в уравнение (1), получим линейную модель вида:
Проверьте значимость оценки () параметра регрессии с помощью критерия Стьюдента при уровне значимости . Сделайте экономический вывод. Постройте 90%- доверительный интервал для коэффициента регрессии (). Дайте экономическую интерпретацию:
Конкурирующая гипотеза проверяется с помощью случайной величины , которая имеет распределение Стьюдента с степенями свободы.
Заполним таблицу 1.
Таблица 1
№
1 33 43 1089 1849 1419 42,23428 0,586329
2 17 27 289 729 459 27,69234 0,479329
3 23 32 529 1024 736 33,14556 1,312318
4 17 29 289 841 493 27,69234 1,709986
5 36 45 1296 2025 1620 44,96089 0,001529
6 25 35 625 1225 875 34,96331 0,001346
7 39 47 1521 2209 1833 47,68751 0,472667
8 20 32 400 1024 640 30,41895 2,499719
9 13 22 169 484 286 24,05685 4,230631
10 12 24 144 576 288 23,14798 0,725941
Сумма 235 336 6351 11986 8649 336 12,01979
Найдем стандартную ошибку оценки коэффициента регрессии:
где s2e – несмещенная оценка остаточной дисперсии σ2е
Дисперсия фактора (Х) рассчитывается по формуле:
Таким образом, стандартная ошибка оценки коэффициента регрессии равна:
Найдем наблюдаемое значение критерия Стьюдента:
По таблице критических точек распределения Стьюдента находим критическое значение t-критерия:
Так как , то нулевая гипотеза о незначимости коэффициента регрессии отвергается при уровне значимости α = 0,1.
Принимается конкурирующая гипотеза Н1: b ≠ 0, свидетельствующая о статистической значимости оценки параметра регрессии