По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (У, млн. руб) от объема капиталовложений (Х, млн. руб).
Требуется:
Для характеристики У от Х построить следующие модели:
линейную,
степенную,
показательную,
гиперболическую.
Оценить каждую модель, определив:
индекс корреляции,
среднюю относительную ошибку,
коэффициент детерминации,
F – критерий Фишера.
Составить сводную таблицу вычислений, выбрать лучшую модель, дать интерпретацию рассчитанных характеристик.
Рассчитать прогнозное значение результативного признака, если прогнозное значение фактора увеличится на 110% относительно среднего уровня.
Результаты расчетов отобразить на графике.
Задание к задаче №1
Вариант Наблюдения
6 Y 36 38 46 44 48 42 40
X 70 78 74 82 88 84 80
Решение
Построение моделей регрессии
Построение линейной модели парной регрессии.
Составим расчетную таблицу:
Таблица 1.1
t y x y x x2
1 36 70 2520 4900 -6,00 36,00 -9,43 88,90 56,571
2 38 78 2964 6084 -4,00 16,00 -1,43 2,04 5,714
3 46 74 3404 5476 4,00 16,00 -5,43 29,47 -21,714
4 44 82 3608 6724 2,00 4,00 2,57 6,61 5,143
5 48 88 4224 7744 6,00 36,00 8,57 73,47 51,429
6 42 84 3528 7056 0,00 0,00 4,57 20,90 0,000
7 40 80 3200 6400 -2,00 4,00 0,57 0,33 -1,143
Сумма 294 556 23448 44384 112,00 221,71 96
Среднее 42 79,43 3349,71 6340,57
Определим линейный коэффициент парной корреляции по следующей формуле, используя данные таблицы 1.1:
Можно сказать, что связь между объемом капиталовложений X и объемом выпуска продукции Y прямая, средней тесноты .
Уравнение линейной регрессии имеет вид: .
Значения параметров a и b линейной модели определим, используя данные таблицы 1.1.
Уравнение регрессии имеет вид: .
С увеличением объема капиталовложений на 1 млн руб. объем выпускаемой продукции увеличится в среднем на 430 тыс. руб. Это свидетельствует об эффективности работы предприятий.
Вычислим расчетные значения , подставив в уравнение регрессии наблюдаемые значения х:
Таблица 1.1.1
t y x
1 36 70 37,9 -1,92 5,33
2 38 78 41,4 -3,38 8,90
3 46 74 39,6 6,35 13,81
4 44 82 43,1 0,89 2,01
5 48 88 45,7 2,29 4,77
6 42 84 44,0 -1,98 4,71
7 40 80 42,2 -2,25 5,62
Сумма 294 556 0,00 45,14
Среднее 42 79,43 6,45
Рассчитаем коэффициент детерминации: 0,371
Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 37,1% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).
Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера:
;
F<Fтабл = 6,61 для =0,05; k1 = m = 1, k2 = n – m – 1 = 5.
Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически не значимое, т.к. F < Fтабл. С помощью распределения Фишера находим, что полученное уравнение будет статистически значимо с вероятностью 0,85 (F = 2,95 > Fтабл = 2,89 для =0,15).
Определим среднюю ошибку:
.
В среднем расчетные значения для линейной модели отличаются от фактических значений на 6,45%.
Построение степенной модели парной регрессии
Уравнение степенной модели имеет вид: .
Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных
. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:
lg = lg a + b lg x. Рассчеты приведены в таблице 1.2.
Таблица 1.2
Факт.
у(t) lg(y) Переменная
х(t) lg(x)
1 36 1,556 70 1,845
2 38 1,580 78 1,892
3 46 1,663 74 1,869
4 44 1,643 82 1,914
5 48 1,681 88 1,944
6 42 1,623 84 1,924
7 40 1,602 80 1,903
Сумма 294 11,349 556 13,292
Среднее 42 1,621 79,429 1,899
Обозначим Y = lg , X = lg x, A = lg a. тогда уравнение примет вид: Y = A + bX – линейное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 1.3.
Таблица 1.3
t y Y x X Y X X 2 Ei
1 36 1,556 70 1,845 2,872 3,404 37,759 3,094 36,000 -1,759 4,89
2 38 1,580 78 1,892 2,989 3,580 41,275 10,727 16,000 -3,275 8,62
3 46 1,663 74 1,869 3,108 3,494 39,526 41,919 16,000 6,474 14,07
4 44 1,643 82 1,914 3,145 3,663 43,009 0,982 4,000 0,991 2,25
5 48 1,681 88 1,944 3,269 3,781 45,582 5,846 36,000 2,418 5,04
6 42 1,623 84 1,924 3,124 3,703 43,870 3,498 0,000 -1,870 4,45
7 40 1,602 80 1,903 3,049 3,622 42,144 4,597 4,000 -2,144 5,36
Сумма 294 11,349 556 13,292 21,555 25,247
70,663 112 0,835 44,68
Сред-нее 42 1,621 79,429 1,899 3,079 3,607
6,383
Уравнение регрессии будет иметь вид: Y = 0,059 + 0,823X.
Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения.
Получим уравнение степенной модели регрессии: = 1,15 x0,823.
Определим индекс корреляции:
связь между показателем y и фактором x можно считать средней по тесноте.
Коэффициент детерминации равен:
.
Вариация результата Y (объем выпуска продукции) на 36,9% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).
Рассчитаем F-критерий Фишера:
F < Fтабл = 6,61 для = 0,05; k1 = m = 1, k2 = n –m –1 = 5.
Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически не значимое, т.к. F < Fтабл. С помощью распределения Фишера находим, что полученное уравнение будет статистически значимо с вероятностью 0,85 (F = 2,9 > Fтабл = 2,89 для =0,15).
Средняя относительная ошибка
В среднем расчетные значения для степенной модели отличаются от фактических значений на 6,38%.
Построение показательной функции
Уравнение показательной кривой: .
Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения:
.
Обозначим: .
Получим линейное уравнение регрессии:
Y=A+Bx.
Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 1.4
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
