По данным, взятым из соответствующей таблицы, выполнить следующие действия:
Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи.
Рассчитать параметры уравнений линейной, квадратичной, экспоненциальной, полулогарифмической и гиперболической парных регрессий.
Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
Дать с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
Оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.
Оценить с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 и данном пункте, выбрать лучшее уравнение регрессии и дать его обоснование.
Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости б=0,05.
Оценить полученные результаты, выводы оформить в аналитической записке.
Исходные данные уровня занятости от заработной платы населения
Уровень занятости, чел. 1440 1438 1151 968 830 850 696 685 649 625
ЗП, тыс. руб. 2612 6975 2972 1517 1170 176 1088 2747 1063 1304
Решение
1. Построение поля корреляции производится по исходным данным.
По данному полю корреляции нельзя сделать однозначный вывод о форме связи и отдать предпочтение какому-либо виду парной регрессии, необходим анализ.
2. Для расчета параметров a и b линейной регрессии решаем систему нормальных уравнений относительно a и b:
Составим расчетную таблицу.
x y xy x2 y2 Аi
1 1440 2612 2073600 6822544 3761280 4352,1 -1740,1 3028100,37 66,62
2 1438 6975 2067844 48650625 10030050 4343,5 2631,5 6924780,00 37,73
3 1151 2972 1324801 8832784 3420772 3103,5 -131,5 17280,17 4,42
4 968 1517 937024 2301289 1468456 2312,8 -795,8 633235,97 52,46
5 830 1170 688900 1368900 971100 1716,5 -546,5 298663,46 46,71
6 850 176 722500 30976 149600 1802,9 -1626,9 2646854,44 924,38
7 696 1088 484416 1183744 757248 1137,5 -49,5 2452,61 4,55
8 685 2747 469225 7546009 1881695 1090,0 1657,0 2745662,64 60,32
9 649 1063 421201 1129969 689887 934,4 128,6 16525,16 12,09
10 625 1304 390625 1700416 815000 830,8 473,2 223963,35 36,29
11 9332 21624 9580136 79567256 23945088 21624,0 - 16537518,18 1245,58
12 933,20 2162,4 958013,60 7956725,60 2394508,8 2162,40 - - 124,56
Итого 1440 2612 2073600 6822544 3761280 4352,1 -1740,1 3028100,37 66,62
Сред.зн. 1438 6975 2067844 48650625 10030050 4343,5 2631,5 6924780,00 37,73
Получаем:
Таким образом, уравнение регрессии имеет вид:
Рассматривая уравнение регрессии в форме квадратичной функции вида y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 параметры данного уравнения найдем из системы нормальных уравнений
x y х2 ху х2у х3 х4 Аi
1 1440 2612 2073600 3761280 5416243200 2985984000 4,2998×1012 4955,8 5493585,9 89,7
2 1438 6975 2067844 10030050 14423211900 2973559672 4,27598×1012 4932,9 4170247,6 29,3
3 1151 2972 1324801 3420772 3937308572 1524845951 1,7551×1012 2376,5 354568,0 20,0
4 968 1517 937024 1468456 1421465408 907039232 8,78014×1011 1512,0 24,7 0,3
5 830 1170 688900 971100 806013000 571787000 4,74583×1011 1254,4 7116,6 7,2
6 850 176 722500 149600 127160000 614125000 5,22006×1011 1270,7 1198368,1 622,0
7 696 1088 484416 757248 527044608 337153536 2,34659×1011 1328,5 57860,6 22,1
8 685 2747 469225 1881695 1288961075 321419125 2,20172×1011 1348,8 1954886,3 50,9
9 649 1063 421201 689887 447736663 273359449 1,7741×1011 1430,3 134890,1 34,6
10 625 1304 390625 815000 509375000 244140625 1,52588×1011 1497,4 37398,7 14,8
Итого 9332 21624 9580136 23945088 28904519426 10753413590 1,29903×1013 21624,0 13408946,7 891,0
Необходимые для решения суммы рассчитаны выше в таблице 2
. Подставляем их в уравнения и решаем систему:
Отсюда получили, что.
Рассматривая уравнение регрессии в форме экспоненциальной функции вида параметры данного уравнения найдем из системы нормальных уравнений
x y Аi
1 1440 2612 2073600,00 7,87 11329,73 99,3 6313560,26 96,20
2 1438 6975 2067844,00 8,85 12726,43 99,0 47279596,18 98,58
3 1151 2972 1324801,00 8,00 9204,54 60,9 8474759,89 97,95
4 968 1517 937024,00 7,32 7090,11 44,6 2167882,90 97,06
5 830 1170 688900,00 7,06 5863,75 35,3 1287500,11 96,98
6 850 176 722500,00 5,17 4394,91 36,5 19449,88 79,24
7 696 1088 484416,00 6,99 4866,50 28,1 1123296,23 97,41
8 685 2747 469225,00 7,92 5424,01 27,6 7395008,86 98,99
9 649 1063 421201,00 6,97 4522,78 26,0 1075393,25 97,56
10 625 1304 390625,00 7,17 4483,24 25,0 1635962,88 98,09
11 1440 2612 9580136,00 73,33 69906,00 21624,0 76772410,45 958,06
12 1438 6975 958013,60 7,33 5825,50 2162,40 - 95,81
Итого 9332 21624 2073600,00 7,87 11329,73 99,3 6313560,26 96,20
Необходимые для решения суммы рассчитаны выше в таблице. Подставляем их в уравнения и решаем систему:
Таким образом, получили: .
Рассчитаем параметры уравнений полулогарифмической парной регрессии. Построению полулогарифмической модели предшествует процедура линеаризации переменных.
Для оценки параметров она приводится к линейному виду путем замены Х, Х = ln x. Тогда y = a + bX, где
Для расчетов используем данные табл.:
№ п/п x Y хY х2 Y2 Ai
1 7,27 2612,00 52,89 6822544,00 18995,50 4093,8 -1481,8 2195637,22 56,73
2 7,27 6975,00 52,87 48650625,00 50715,28 4088,2 2886,8 8333737,39 41,39
3 7,05 2972,00 49,68 8832784,00 20947,80 3192,9 -220,9 48776,81 7,43
4 6,88 1517,00 47,27 2301289,00 10429,73 2496,5 -979,5 959374,17 64,57
5 6,72 1170,00 45,18 1368900,00 7864,07 1877,9 -707,9 501136,86 60,51
6 6,75 176,00 45,50 30976,00 1187,16 1973,7 -1797,7 3231617,35 1021,40
7 6,55 1088,00 42,84 1183744,00 7121,34 1169,8 -81,8 6688,23 7,52
8 6,53 2747,00 42,63 7546009,00 17936,31 1105,7 1641,3 2693825,29 59,75
9 6,48 1063,00 41,93 1129969,00 6883,38 888,6 174,4 30417,03 16,41
10 6,44 1304,00 41,44 1700416,00 8394,83 737,1 566,9 321429,45 43,48
Итого 67,92 21624,00 462,23 79567256,00 150475,42 21624,0 - 18322639,80 1379,17
Уравнение полулогарифмической парной регрессии имеет вид:
y=4021,72Lnx-25153,8.
Найдем параметры a и b гиперболической регрессии из системы нормальных уравнений
x y Аi
1 1440 2612 0,0007 0,0000 1,81 3810,2 1435705,64 45,87
2 1438 6975 0,0007 0,0000 4,85 3806,9 10037047,54 45,42
3 1151 2972 0,0009 0,0000 2,58 3207,4 55393,72 7,92
4 968 1517 0,0010 0,0000 1,57 2639,5 1259977,44 73,99
5 830 1170 0,0012 0,0000 1,41 2045,6 766743,87 74,84
6 850 176 0,0012 0,0000 0,21 2143,7 3871653,96 1117,98
7 696 1088 0,0014 0,0000 1,56 1243,7 24227,68 14,31
8 685 2747 0,0015 0,0000 4,01 1163,9 2506263,00 57,63
9 649 1063 0,0015 0,0000 1,64 883,9 32073,81 16,85
10 625 1304 0,0016 0,0000 2,09 679,3 390198,78 47,90
Итого 9332 21624 0,0117 0,0000 21,73 21624,0 20379285,43 1502,72
Необходимые для решения суммы рассчитаны выше в таблице
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
