По данным, взятым из соответствующей таблицы, выполнить следующие действия:
1. Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи.
2. Рассчитать параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии.
3. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
4. Дать с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
5. Оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.
6. Оценить адекватность модели с помощью показателей качества коэффициентов регрессии.
7. Оценить с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 3, 4, 5, 6 и данном пункте, выбрать лучшее уравнение регрессии и дать его обоснование.
8. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 15% от его среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости α=0,05.
9. Оценить полученные результаты, выводы оформить в отчете
Таблица 1
Исходные данные
№ п/п Уровень рождаемости, чел
У Заралата, тыс.руб.
Х
1 90 51
2 84 70
3 402 219
4 286 318
5 507 405
6 462 444
7 933 852
8 1835 1072
9 1842 1477
10 4282 4313
Решение
1. Построим поле корреляции и сформулируем гипотезу о форме связи рис.1.
Рис.1. Поле корреляции
Таким образом, можно сделать вывод, что связь между зарплатой и уровнем рождаемости прямая
2.Рассчитаем параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии.
2.1. Для расчета параметров парной линейной регрессии методом наименьших квадратов построим вспомогательную таблицу №1.
Таблица 1
Промежуточные результаты расчетов для линейной регрессии
Номер наблюдения х у у
(y-ŷх)2 (y-ycp)2 A
1 51 90 2601 8100 4590 201,82 12504,09 11966548,93 124,25
2 70 84 4900 7056 5880 220,81 18716,46 12008096,17 162,87
3 219 402 47961 161604 88038 369,70 1043,17 9905308,45 8,03
4 318 286 101124 81796 90948 468,63 33354,13 10648931,09 63,86
5 405 507 164025 257049 205335 555,57 2358,95 9255406,75 9,58
6 444 462 197136 213444 205128 594,54 17567,17 9531236,05 28,69
7 852 933 725904 870489 794916 1002,25 4795,57 6844868,71 7,42
8 1072 1835 1149184 3367225 1967120 1222,09 375654,97 2938721,63 33,40
9 1477 1842 2181529 3392964 2720634 1626,80 46309,33 2914770,85 11,68
10 4313 4282 18601969 18335524 18468266 4460,78 31962,29 536893,25 4,18
Сумма 9221 10723 23176333 26695251 24550855 10723,00 544266,13 76550781,91 453,95
Среднее значение 922,10 1072,30 2317633,30 2669525,10 2455085,50 1072,30 54426,61 7655078,19 45,40
Параметры уравнения парной линейной регрессии у = а+ bх рассчитаем по формулам:
b=yx-yxx2-x2=2455085.50-922.10*1072.32317633.30-922.102=1.00
a=y-bx=1072.30-922.10*1.00=150.86
Уравнение линейной регрессии будет иметь вид: у = 150.86+1.00x
Данное уравнение показывает, что с увеличением заработной платы на 1 тыс.руб. уровень рождаемости увеличивается на 1 чел.
2.2. Для расчета параметров степенной зависимости линеаризуем исходное уравнение у = axb:
lny = lna + blnx
Обозначив lny как У, lna как А, lnx как Х, перейдем к линейной зависимости: У = А + bХ
Построим вспомогательную таблицу №2
Таблица 2
Промежуточные результаты расчетов для степенной регрессии
Номер наблюдения Х У Х2
У2
ХУ у
(y-ŷх)2 A
1 3,932 4,500 15,459 20,248 17,692 75,14 220,71 16,51
2 4,248 4,431 18,050 19,632 18,824 100,86 284,21 20,07
3 5,389 5,996 29,042 35,957 32,315 291,14 12290,49 27,58
4 5,762 5,656 33,201 31,990 32,590 411,76 15816,63 43,97
5 6,004 6,229 36,047 38,794 37,395 515,54 72,96 1,68
6 6,096 6,136 37,159 37,645 37,401 561,53 9906,38 21,54
7 6,748 6,838 45,530 46,764 46,143 1029,09 9232,83 10,30
8 6,977 7,515 48,682 56,472 52,433 1273,99 314729,23 30,57
9 7,298 7,519 53,257 56,529 54,869 1716,05 15864,28 6,84
10 8,369 8,362 70,047 69,926 69,986 4646,02 132507,20 8,50
Сумма 60,823 63,181 386,475 413,959 399,650 10621,12 510924,92 187,57
Среднее значение 6,082 6,318 38,647 41,396 39,965 1062,112 51092,492 18,757
Параметры преобразованного уравнения степенной регрессии У=А +вХ рассчитаем по формулам:
b=УХ-УХХ2-Х2=39,965-6,082*6,31838,647-6,0822=0,93
a=У-bХ=6,318-6,082*0,93=0,67
Преобразованное уравнение регрессии будет иметь вид: У= 0,67+0,93x
а = еА = 2,7180,67= 1,94
Уравнение степенной зависимости: у =1,94х0,93
Подставляя в данное уравнение фактические значения х, получаем теоретические значения результата y.
2.3. Рассчитаем параметры уравнений экспоненциальной парной регрессии.
Построению экспоненциальной модели y aebx предшествует процедура линеаризации переменных. В примере линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:
lny = lna + bx
У = C + bХ, где У=lny, C=lna
Для расчетов используем данные табл. 3
Таблица 3
Промежуточные результаты расчетов для экспоненциальной регрессии
Номер наблюдения Х У Х2
У2
ХУ у
(y-ŷх)2 А
1 51 4,500 2601 20,248 229,490 5,81 7087,12 93,54
2 70 4,431 4900 19,632 310,157 5,90 6099,04 92,97
3 219 5,996 47961 35,957 1313,223 6,65 156303,32 98,35
4 318 5,656 101124 31,990 1798,605 7,19 77733,06 97,48
5 405 6,229 164025 38,794 2522,547 7,71 249290,63 98,48
6 444 6,136 197136 37,645 2724,191 7,95 206158,48 98,28
7 852 6,838 725904 46,764 5826,321 11,01 850068,16 98,82
8 1072 7,515 1149184 56,472 8055,865 13,12 3319254,54 99,29
9 1477 7,519 2181529 56,529 11104,983 18,11 3326560,29 99,02
10 4313 8,362 18601969 69,926 36066,063 173,55 16879400,44 95,95
Сумма 9221 63,181 23176333 413,959 69951,446 257,01 25077955,07 972,17
Среднее значение 922,10 6,32 2317633,30 41,40 6995,14 25,70 2507795,51 97,22
Рассчитаем С и b:
b=УХ-УХХ2-Х2=6995.14-922.10*6.322317633.30-922.10=0,0008
С=У-bХ=6.32-922.10*0.0008=5.58
Получим линейное уравнение: у=5.58+0.0008х. Выполнив его потенцирование, получим: у=265.97е0,0008.
2.4. Рассчитаем параметры уравнений полулогарифмической парной регрессии. Построению полулогарифмической модели y=a+blnx предшествует процедура линеаризации переменных.
В примере линеаризация производится путем замены y=a+blnx, где Х=lnx
Для расчетов используем данные табл. 4
Таблица 4
Промежуточные результаты расчетов для полулогарифмической регрессии
Номер наблюдения Х У Х2
У2
ХУ у
(y-ŷх)2 A
1 3,932 90 15,459 8100 353,864 -689,83 608138,74 866,48
2 4,248 84 18,050 7056 356,874 -430,35 264556,57 612,32
3 5,389 402 29,042 161604 2166,407 504,25 10454,62 25,43
4 5,762 286 33,201 81796 1647,947 809,87 274440,45 183,17
5 6,004 507 36,047 257049 3043,971 1008,03 251034,00 98,82
6 6,096 462 37,159 213444 2816,271 1083,37 386097,36 134,50
7 6,748 933 45,530 870489 6295,498 1617,43 468440,11 73,36
8 6,977 1835 48,682 3367225 12803,311 1805,64 861,96 1,60
9 7,298 1842 53,257 3392964 13442,489 2068,25 51189,35 12,28
10 8,369 4282 70,047 18335524 35837,724 2946,35 1783971,29 31,19
Сумма 60,823 10723 386,475 26695251 78764,355 10723,00 4099184,46 2039,16
Среднее значение 6,08 1072,30 38,65 2669525,10 7876,44 1072,30 409918,45 203,92
Рассчитаем С и b:
b=УХ-УХХ2-Х2=38.65-6.08*1072.3238.65-6.082=819.41
а=У-bХ=1072.30-819.41*6.08=-3911.61
Получим линейное уравнение: у= - 3911.61+819.41ln x
5
. Рассчитаем параметры уравнений обратной парной регрессии. Для оценки параметров приведем обратную модель у=1a+bx к линейному виду, заменив У=1у, тогда а=Y-bx.
Для расчетов используем данные табл.5
Таблица 5
Промежуточные результаты расчетов для обратной регрессии
Номер наблюдения x z x2 z2 xz
у
(y-ŷх)2 A
1 51 0,01111 2601 0,0001235 0,567 199,374 11962,58 121,53
2 70 0,01190 4900 0,0001417 0,833 200,650 13607,20 138,87
3 219 0,00249 47961 0,0000062 0,545 211,255 36383,59 47,45
4 318 0,00350 101124 0,0000122 1,112 218,944 4496,50 23,45
5 405 0,00197 164025 0,0000039 0,799 226,178 78860,82 55,39
6 444 0,00216 197136 0,0000047 0,961 229,579 54019,63 50,31
7 852 0,00107 725904 0,0000011 0,913 272,427 436356,93 70,80
8 1072 0,00054 1149184 0,0000003 0,584 302,911 2347296,13 83,49
9 1477 0,00054 2181529 0,0000003 0,802 381,499 2133064,59 79,29
10 4313 0,00023 18601969 0,0000001 1,007 -467,110 22554041,45 110,91
Сумма 9221 0,03553 23176333 0,0002940 8,123 1775,707 27670089,42 781,48
Среднее значение 922,10 0,0036 2317633,30 0,00 0,81 177,57 2767008,94 78,15
Рассчитаем С и b:
b=xz-zxx2-x2=0.81-922,1*0,00362317633,3-922,102=-0.000002
а=z-bx=0,0036-922,10*-0.000002=0.0051
Выполнив его потенцирование, получим у=10.0051-0.000002x
2.6.Рассчитаем параметры уравнений равносторонней гиперболы парной регрессии. Для оценки параметров приведем модель равносторонней гиперболы y= a +b/x К линейному виду, заменив 1/x X, тогда а=y-bX.
Для расчетов используем данные табл.6
Таблица 6
Промежуточные результаты расчетов для равносторонней гиперболы
Номер наблюдения Х У Х2
У2
ХУ у
(y-ŷх)2 А
1 0,020 90 0,00038 8100 1,765 -428,72 269065,69 576,35
2 0,014 84 0,00020 7056 1,200 115,70 1004,89 37,74
3 0,005 402 0,00002 161604 1,836 1109,94 501172,17 176,10
4 0,003 286 0,00001 81796 0,899 1255,35 939639,55 338,93
5 0,002 507 0,00001 257049 1,252 1324,45 668225,67 161,23
6 0,002 462 0,00001 213444 1,041 1346,64 782581,45 191,48
7 0,001 933 0,00000 870489 1,095 1456,96 274537,79 56,16
8 0,001 1835 0,00000 3367225 1,712 1481,60 124889,36 19,26
9 0,001 1842 0,00000 3392964 1,247 1507,77 111710,79 18,15
10 0,000 4282 0,00000 18335524 0,993 1553,31 7445759,06 63,72
Сумма 0,049 10723 0,00063 26695251 13,039 10723,00 11118586,40 1639,13
Среднее значение 0,005 1072,300 0,00006 2669525,100 1,304 1072,300 1111858,640 163,913
Рассчитаем С и b:
b=УХ-УХХ2-Х2=1,304-0,005*1072,30.00006-0.0052=-102292,79
а=У-bХ=1072,3-0,005*(-102292,79)=1577,03
Получим уравнение регрессии: y=1577,03-102292,79/x.
3.Оценим тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации
Линейная модель. Коэффициент корреляции для линейной регрессии равен (воспользуемся таблицей №1):
rxy=yx-yxσxσy=yx-yx(x2-x2)(y2-y2)=2455085,5(2317633,3-922,12)(2669525,1-1072,32)=0.98
Таким образом, можно в данном случае говорить о сильной прямой линейной зависимости между заработной платой и уровнем рождаемости, что говорит о прямой сильной связи фактора и результата. Коэффициент детерминации r²xy=(0,98)²=0,964. Это означает, что 96,4% вариации результативного признака (уровня рождаемости, у) объясняется вариацией фактора х – заработная плата.
Степенная модель. Тесноту нелинейной связи оценит индекс корреляции. Был получен следующий индекс:
pxy=1-σост2σу2=1-(y-yx)2(y-y)2=0,997
что говорит также о тесной связи. . Коэффициент детерминации r²xy=0,993. Это означает, что 99,3% вариации результативного признака (уровня рождаемости, у) объясняется вариацией фактора х – заработная плата.
Экспоненциальная модель. Был получен следующий индекс корреляции ρ xy= 0,820, что говорит о том, что связь прямая и сильная. Коэффициент детерминации r²xy=0,672. Это означает, что 67,2% вариации результативного признака (уровня рождаемости, у) объясняется вариацией фактора х – заработная плата.
Полулогарифмическая модель. Был получен следующий индекс корреляции ρ xy= 0,973, что говорит о том, что связь прямая и сильная. Коэффициент детерминации r²xy=0,946. Это означает, что 94,6% вариации результативного признака (уровня рождаемости, у) объясняется вариацией фактора х – заработная плата.
Обратная модель. Был получен следующий индекс корреляции ρxy=797, что говорит о том, что связь прямая и сильная. Коэффициент детерминации r²xy=0,799. Это означает, что 63,9% вариации результативного признака (уровня рождаемости, у) объясняется вариацией фактора х – заработная плата.
Гиперболическая модель. Был получен следующий индекс корреляции ρxy= 0,925, что говорит о том, что связь прямая и сильная. Коэффициент детерминации r²xy=0,855. Это означает, что 67,2% вариации результативного признака (уровня рождаемости, у) объясняется вариацией фактора х – заработная плата.
Вывод: по степенному уравнению получена наибольшая оценка тесноты связи: ρxy=0,997 (по сравнению с линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, гиперболической регрессиями).
4
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
