По данным таблицы составить интервальный и дискретный вариационные ряды

Сгруппируем данные в вариационный интервальный ряд. Для этого найдем максимальную и минимальную варианту выборки: xmin=9.24, xmax=60.31 и определим размах варьирования:
R =xmax-xmin=60.31-9.24=51.07
Для построения интервального ряда определим интервальный шаг выборки, воспользовавшись формулой Стерджеса:
h=xmax-xmin1+3.322lgn
где n – объём выборки (в нашем случае 50)
h=51.071+3.322lg50≈7.69
За начало первого интервала примем x1=xmin=9.24. В результате получим интервальный ряд.
Подсчитаем по исходной таблице число вариант, попадающих в указанные интервалы. Если некоторые значения совпадают с границами интервалов, то их относят либо только к предыдущему интервалу.
Интервальный ряд распределения запишем в виде таблицы:
xi
xi+1
Середина интервала, xi
Частоты, ni
Относительные частоты wi=nin
Накопленные относительные частоты
9,24 16,93 13,085 16 0,32 0,32
16,93 24,62 20,775 25 0,5 0,82
24,62 32,31 28,465 7 0,14 0,96
32,31 40 36,155 0 0 0,96
40 47,69 43,845 0 0 0,96
47,69 55,38 51,535 0 0 0,96
55,38 63,07 59,225 2 0,04 1
∑
50 1
Построим гистограмму и полигон относительных частот
Гистограмма – это ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников . Их основаниями служат частичные интервалы, а высоты равны относительным частотам. Ее график изображен на рис.1.
По полученной таблице может быть построен полигон относительных частот, который является, как и гистограмма относительных частот, статистической оценкой кривой распределения признака. Это ломаная линия, вершины которой находятся в точках xi;wi:
Найдем основные числовые характеристики вариационного ряда. Для вычисления основных характеристик составим расчетную таблицу:
Середина интервала, xi
Частота,ni
xini
xi2ni
xi-x3*ni
xi-x4*ni
13,085 16 209,36 2739,5 -7722,05228 60571,7781
20,775 25 519,38 10790 -0,0913066 0,01406122
28,465 7 199,26 5671,8 2995,854447 22576,7591
36,155 0 0 0 0 0
43,845 0 0 0 0 0
51,535 0 0 0 0 0
59,225 2 118,45 7015,2 112328,5723 4301735,01
∑ 50 1046,4 26216 107602,2832 4384883,56
Несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания) служит выборочная средняя
– выборочное среднее xB
xB=1ni=1kxini=1046,450=20,929
– выборочную дисперсию DB
DB=x2-x2=2621650-20.9292=86.297
Несмещенной оценкой генеральной дисперсии является «исправленная дисперсия»
s2=nn-1*DB=5050-1*86.297≈88,058
Определим коэффициент асимметрии, которая характеризует асимметрию полигона вариационного ряда
As=1nxi-x3*niσ3=107602.283250*86.2973=2.68
Вычислим эксцесс, показывающий степень «крутости» выборочного распределения относительно нормального распределения:
Ex=1nxi-x4*niσ4-3=4384883.5650*86.2974-3=8.78
Предполагая, что исследуемая случайная величина распределена по нормальному закону, найдем теоретические частоты и проверим гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности с помощью критерия согласия χ2.
Ввиду малочисленности частот объединяем последние 5 интервалов