По 10 сельскохозяйственным предприятиям имеются данные о себестоимости молока и средней продуктивности молока

Уравнение парной линейной регрессии имеет вид:
ŷх = а + bх,
где ŷх – себестоимость молока, руб./л;
х – средняя продуктивность молока, кг;
а, b – параметры уравнения.
Для определения параметров уравнения а и b составим систему нормальных уравнений. Исходное уравнение последовательно умножим на коэффициенты при неизвестных а и b, и затем каждое уравнение просуммируем:
,
где n – число единиц совокупности.
Для расчетов построим вспомогательную таблицу (табл. 2).
Таблица 2
Сельскохозяйственное предприятие Себестоимость молока, руб./л
Средняя продуктивность молока, кг
у2
х2
ху
ŷх
у- ŷх
у х
1 8,3 175 68,89 30625 1452,5 6,87 1,43 17,20
2 5,8 222 33,64 49284 1287,6 6,62 -0,82 14,20
3 6,9 202 47,61 40804 1393,8 6,73 0,17 2,47
4 7,8 136 60,84 18496 1060,8 7,08 0,72 9,24
5 7,0 223 49 49729 1561 6,62 0,38 5,46
6 5,9 157 34,81 24649 926,3 6,97 -1,07 18,10
7 8,0 186 64 34596 1488 6,81 1,19 14,82
8 7,5 124 56,25 15376 930 7,14 0,36 4,76
9 6,0 248 36 61504 1488 6,49 -0,49 8,09
10 5,2 140 27,04 19600 728 7,06 -1,86 35,73
Сум-ма
68,4 1813 478,08 344663 12316 × × 130,07
Подставим полученные данные в систему уравнений:
Разделим каждый член уравнений на коэффициенты при а (в первом уравнении на 10, во втором на 1813):
Вычтем из второго уравнения первое и найдем параметр b:
-0,047 = 8,806b; b = -0,0053.
Подставив значение b в первое уравнение, найдем значение а:
а = 6,84 – 181,3 · (-0,0053) = 7,801.
Уравнение регрессии имеет вид:
ŷх = 7,8 - 0,0053х.
Коэффициент регрессии b = - 0,0053 показывает, что при росте средней продуктивности молока на 1 кг себестоимость молока в среднем по данной совокупности хозяйств уменьшается на 0,53 копейки за литр.
2 . Оценим качество уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации по формуле:
где – ошибка аппроксимации.
Подставляя в уравнение регрессии х, определим теоретические (расчетные) значения ŷх (табл. 2). Найдем величину средней ошибки аппроксимации . Для этого заполним две последние графы табл. 2. Отсюда:
.
В среднем расчетные значения себестоимости молока отклоняются от фактических на 13,07%. Качество уравнения регрессии можно оценить как невысокое, так как средняя ошибка аппроксимации немного больше допустимого предела (8-10%).
3. Рассчитаем средний коэффициент эластичности по формуле:
где и – средние значения признаков.
Отсюда:
;
;
.
Коэффициент эластичности показывает, что в среднем при росте средней продуктивности молока на 1% себестоимость молока уменьшается на 0,14 %.
4