По 10 сельскохозяйственным предприятиям имеются данные о прибыли и производстве валовой продукции (производительности труда) на одного среднегодового работника

Построим поле корреляции
Визуальный анализ поля корреляции позволяет выдвинуть предположение, что между объемом прибыли и производительностью труда существует линейная зависимость
Уравнение парной линейной регрессии имеет вид:
yx=a+bx
Где yx-Прибыль на одного среднегодового работника, тыс. руб
х – Производство валовой продукции (в сопоставимых ценах 1994 г) на одного среднегодового работника, тыс. руб
a, b – параметры уравнения
Для определения параметров уравнения a и b составим систему нормальных уравнений. Исходное уравнение последовательно умножим на коэффициенты при неизвестных а и b, и затем каждое уравнение просуммируем:
y=an+bxxy=ax+bx2
где n – число единиц совокупности.
Для расчетов построим вспомогательную таблицу
Сельскохозяйственное предприятие Производство валовой продукции (в сопоставимых ценах 1994 г) на одного среднегодового работника, тыс. руб
Прибыль на одного среднегодового работника, тыс. руб
xy
x2 y2 yi
yi-yi
yi-yiyi*100%
х у
1 320 13 4160 102400 169 19,8582 -6,8582 52,75538
2 300 25 7500 90000 625 19,9362 5,0638 20,2552
3 390 27 10530 152100 729 19,5852 7,4148 27,46222
4 410 19 7790 168100 361 19,5072 -0,5072 2,669474
5 440 10 4400 193600 100 19,3902 -9,3902 93,902
6 350 14 4900 122500 196 19,7412 -5,7412 41,00857
7 380 22 8360 144400 484 19,6242 2,3758 10,79909
8 400 24 9600 160000 576 19,5462 4,4538 18,5575
9 450 23 10350 202500 529 19,3512 3,6488 15,86435
10 420 19 7980 176400 361 19,4682 -0,4682 2,464211
сумма 3860 196 75570 1512000 4130
196 285,738
Параметры уравнения регрессии можно определить по формулам, которые вытекают из системы нормальных уравнений:
a=yx2-xyxnx2-(x)2= 196*1512000-75570*386010*1512000-3860*3860=21,1062
b=nxy-yxnx2-(x)2= 10*75570-196*386010*15120000-3860*3860=-0,0039
Уравнение регрессии имеет вид:
ŷх = 21,1062 -0,0039х.
Коэффициент регрессии b = -0,0039 показывает, что при росте средней производительности труда на 1 тыс . руб. прибыль на одного работника в среднем по данной совокупности хозяйств уменьшается на 0,0039тыс. руб.
Оценим качество уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации по формуле:
А=Аn, где
А=yi-yiyi*100% - ошибка аппроксимации
Подставляя в уравнение регрессии х, определим теоретические (расчетные) значения ŷх. Найдем величину средней ошибки аппроксимации . Для этого заполним две последние графы. Отсюда:
А=285,73810=28,5738%
В среднем расчетные значения прибыли на одного среднегодового работника отклоняются от фактических на 28,5738%. Качество уравнения регрессии можно оценить как не высокое, так как средняя ошибка аппроксимации больше допустимого предела (8-10%).
Рассчитаем средний коэффициент эластичности по формуле:
где и – средние значения признаков.
Отсюда: x=386010=386
y=19610=19,6
Э=-0,0039*38619,6=-0,0768
Коэффициент эластичности показывает, что в среднем при росте производительности труда на 1 % прибыль на одного работника уменьшается на 0,0768 %.
Для определения тесноты связи между исследуемыми признаками рассчитаем коэффициент корреляции