По данным n=10 машиностроительных предприятий методамикорреляционного анализа исследуется взаимосвязь между следующимипоказателями: x1 - рентабельность (%); x2 - премии и вознаграждения наодного работника (млн.руб.); х3 - фондоотдача.
N п/п х1 x2 х3
1 13,26 1,23 1,45
2 10,16 1,04 1,30
3 13,72 1,80 1,37
4 12,82 0,43 1,65
6 9,12 0,57 1,68
7 25,83 1,72 1,94
8 23,39 1,70 1,89
9 14,68 0,84 1,94
10 10,05 0,60 2,06
Требуется:
а)рассчитать вектора средних и среднеквадратических отклонений,матрицу парных коэффициентов корреляции:
б)проверить при α=0,05 значимость парного коэффициента корреляции ρ12 и найти его интервальную оценку с доверительной вероятностью γ=0,95;
в)по корреляционной матрице R рассчитать частный коэффициенткорреляции r12/3; проверить при α=0,5 значимость частногокоэффициента корреляции ρ12/3 и определить его интервальную оценкупри α=0,5;
г) по корреляционной матрице R вычислить оценку множественногокоэффициента корреляции r1(23) и при α=0,5 проверить гипотезу Н0:
r1(23)=0.
Решение
А) Рассчитаем вектора средних и среднеквадратических отклонений,матрицу парных коэффициентов корреляции:
Найдем значения средних арифметических (xj) и средних квадратических отклонений (Sj), где j =1, 2, 3, а также парных коэффициентов корреляции r12, r13 и r23 по формулам:
x=1nxij , sj=1ni=1n(xij-xj)2 , rjl=1ni=1nxij-xj(xil-xl)sjsl
x=x1x2...xk, s=s1s2...sk, R=1r21rk1 r121rk2 ... ... r1kr2k1
где xij – значение i-го наблюдения j-го фактора; ril – выборочный парный коэффициент корреляции, характеризует тесноту линейной связи между показателями xj и xl. При этом rjl является оценкой генерального парного коэффициента корреляции. R – Матрица парных коэффициентов корреляции.
x1=13,26+10,16+13,72+12,82+9,12+25,83+23,39+14,68+10,059=14,78
x2=1,23+1,04+1,08+0,43+0,57+1,72+1,70+0,84+0,609=1,10
x3=1,45+1,30+1,37+1,65+1,68+1,94+1,89+1,94+2,069=1,70
s1=19(13,26-14,78)2+(10,16-14,78)2+…+(10,05-14,78)2=5,57
s2=19(1,23-1,10)2+(1,04-1,10)2+…+(0,60-1,10)2=0,51
s3=19(1,45-1,70)2+(1,30-1,70)2+…+(2,06-1,70)2=0,26
ρ12=x1x2-x1∙x2s1∙s2=18,32-14,78∙1,105,57∙0,51=0,7122 ,
где x1x2=19∙13,26∙1,23+10,16∙1,04+…+10,05∙0,60=18,32
ρ13=x1x3-x1∙x3s1∙s3=25,69-14,78∙1,705,57∙0,26=0,4082 ,
где x1x3=19∙13,26∙1,45+10,16∙1,30+…+10,05∙2,06=25,69
ρ23=x2x3-x2∙x3s2∙s3=1,85-1,10∙1,700,51∙0,26=-0,1470 ,
где x2x3=19∙1,23∙1,45+1,04∙1,30+…+0,60∙2,06=1,85
Получаем:
X=14,781,101,70, S=5,570,510,26, Rпарн=10,71220,40820,71221-0,14700,4082-0,14701
б) проверим при α=0,05 значимость парного коэффициента корреляции ρ12 и найти его интервальную оценку с доверительной вероятностью γ=0,95:
Значимость частных и парных коэффициентов корреляции, т
. е. гипотеза H0:ρ12 = 0, проверяется по t – критерию Стьюдента. Наблюдаемое значение критерия находится по формуле:
tнабл=ρ1-ρ2n-l-1
где ρ – соответственно оценка частного или парного коэффициента корреляции; l – порядок частного коэффициента корреляции, т. е. число фиксируемых факторов.
α = 0,05, ν = n − l − 2 = 9 – 1 – 1 = 7 tкр = 2,36
1) tнабл 1/2=0,71221-0,712229-1-1=0,71220,7020∙2,45=2,68
Т.к. |tнабл 1/2| > tкр (|2,68| > 2,36), то гипотеза Н0:ρ12=0 отклоняется, т. е. частный коэффициент корреляции не равен нулю (ρ12 ≠ 0) – значимый парный коэффициент корреляции
Определим интервальную оценку для ρ1/2 при γ = 0.95. Для этого используем Z – преобразование Фишера и предварительно найдем интервальную оценку для Z из условия:
Z∈Z'±tγ1n-l-1
По таблице Z – преобразование Фишера для ρ12 = 0,7122, будем иметь Z’(0,7122) = 0,8916. По таблице нормального закона из условия Ф(t) = 0,95 найдем ty=1,96.
Тогда:
Z∈0,8916±1,9619-2, Z∈0,8916±1,96∙0,378,
Z∈0,151;1,632
По таблице Z – преобразование для Zmin = 0,151 и Zmax = 1,632 найдем интервальную оценку для ρ12:
ρ12∈0,15;0,93
в) по корреляционной матрице R рассчитаем частный коэффициенткорреляции r12/3; проверим при α=0,5 значимость частногокоэффициента корреляции ρ12/3 и определим его интервальную оценкупри α=0,5
Найдем частный коэффициент корреляции по формуле:
r12/3=-R12R11∙R22 ,
где R12 – алгебраическое дополнение элемента r12 корреляционной матрицы R, а R11 и R22 алгебраические дополнения 1-го и 2-го диагонального элемента этой матрицы и т.д..
R12=(-1)3∙0,7122-0,14700,40821=0,7722
R11=(-1)2∙1-0,1470-0,14701=0,9784
R22=(-1)4∙10,40820,40821=0,8334
r12/3=-0,77220,9784∙0,8334=-0,8552
Значимость частных и парных коэффициентов корреляции, т
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
