По 12 предприятиям исследовали зависимость следующих признаков

Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи между объемом производства и себестоимостью единицы продукции.
Корреляционное поле между х (тыс. $) – объем производства и у ($) – себестоимость единицы продукции представлен на рисунке 1.
Рисунок 1 – Корреляционное поле
На основании построенного корреляционного поля можно предположить о наличии обратной линейной зависимости, но не исключено, что зависимость между х и у может качественнее описываться иной функцией.
Рассчитайте оценки параметров уравнения парной линейной регрессии.
Осуществим вспомогательные расчеты, которые представим в таблице 2.
Таблица 2 – Результаты вычислений
№ x у xy
x2
y2
1 5,00 42,40 212,00 25,00 1 797,76
2 9,00 35,50 319,50 81,00 1 260,25
3 11,00 36,50 401,50 121,00 1 332,25
4 12,00 25,30 303,60 144,00 640,09
5 12,00 29,80 357,60 144,00 888,04
6 14,00 22,10 309,40 196,00 488,41
7 15,00 19,70 295,50 225,00 388,09
8 16,00 18,20 291,20 256,00 331,24
9 16,00 16,50 264,00 256,00 272,25
10 17,00 13,90 236,30 289,00 193,21
11 19,00 12,50 237,50 361,00 156,25
12 21,00 11,10 233,10 441,00 123,21
Сумма 167,00 283,50 3 461,20 2 539,00 7 871,05
Среднее 13,92 23,63 288,43 211,58 655,92
Параметры а и b линейной регрессии ŷ =a+b ×x рассчитываются в результате решения системы нормальных уравнений относительно а и b:
y=na+bxyx=ax+bx2
Используя данные таблицы 2, составим систему нормальных уравнений для наших данных:
283,50=12a+167b3 461,20=167a+2 539b
Решаем ее методом определителей. Определитель системы ∆ равен:
∆=121671672 539=2 579,00
∆a=283,51673 46,202 539,00=141 786,100
∆b=12283,51673 461,20=-5 810,100
a=∆a∆=141 786,102 579=54,977
b=∆b∆=-5 810,102 579=-2,253
Таким образом, уравнение парной линейной регрессии имеет вид:
ŷ =54,977-2,253 ×x.
Параметр регрессии b означает, что с ростом объема производства на 1 тыс. $ себестоимость единицы продукции снижается в среднем на 2,253$.
Оцените тесноту связи между объемом производства и себестоимостью с помощью выборочного коэффициента корреляции. Проверьте значимость коэффициента корреляции (a 0,05 ) .
Предварительно определим среднеквадратические отклонения признаков:
σx=x2-x2=211,58-13,922=4,232
σy=y2-y2=655,92-23,632=9,888
Рассчитаем линейный коэффициент корреляции.
rxy=bσxσy=-2,253×4,2329,888=-0,964.
Т.е. связь между изучаемыми переменными обратная (коэффициент корреляции отрицателен) и тесная.
Проверим статистическую значимость коэффициента корреляции на уровне значимости а = 0,05, для чего формулируем гипотезы:
H0:r=0;H1:r≠0
Определим стандартную ошибку коэффициента корреляции:
mr=1-rxy2n-m-1=1-(-0,964)212-1-1=0,084
Наблюдаемое значение t-критерия Стьюдента:
tr=rxymr=-0,9640,084=-11,492.
Табличное значение t-статистики Стьюдента: t0,05;10=2,228
Поскольку наблюдаемое значение t-критерия Стьюдента для коэффициента корреляции превышает соответствующее критическое значение на уровне значимости а = 0,05 гипотеза H0 отклоняется, следовательно, коэффициент статистически значим.
4.Рассчитайте выборочный коэффициент детерминации. Сделайте экономический вывод.
Определим коэффициент детерминации:
R2=rxy2=(-0,964)2=0,930.
Вариация у на 93 % объясняется вариацией х. На долю прочих факторов, не учитываемых в регрессии, приходится 7%.
5.Проверьте значимость оценки коэффициента регрессии с помощью критерия Стьюдента при уровне значимости а = 0,05.
Оценку статистической значимости коэффициента регрессии проведем с помощью t - критерия Стьюдента.
Выдвигаем две гипотезы:
H0 – коэффициент регрессии является статистически незначимым, т.е. b = 0;
H1 – коэффициент регрессии статистически значим, т.е. b ≠ 0.
Проведем вспомогательные расчеты и оформим их в таблице 3.
Определим стандартную ошибку для коэффициента регрессии, используя данные таблицы 3:
mr=(y-y)2(n-m-1)(x-x)2=82,5910×214,92=0,196
Таблица 3 – Результаты вычислений
№ ŷ (у- ŷ) (у- ŷ)²
(у-уср)²
(ŷ-уср)²
(х-хср)²
А
1 43,71 -1,31 1,72 352,50 403,52 79,51 3,10
2 34,70 0,80 0,64 141,02 122,69 24,17 2,25
3 30,20 6,30 39,74 165,77 43,18 8,51 17,27
4 27,94 -2,64 6,99 2,81 18,64 3,67 10,45
5 27,94 1,86 3,45 38,13 18,64 3,67 6,23
6 23,44 -1,34 1,79 2,33 0,04 0,01 6,05
7 21,18 -1,48 2,20 15,41 5,96 1,17 7,54
8 18,93 -0,73 0,54 29,43 22,03 4,34 4,02
9 18,93 -2,43 5,91 50,77 22,03 4,34 14,74
10 16,68 -2,78 7,72 94,58 48,25 9,51 19,99
11 12,17 0,33 0,11 123,77 131,15 25,84 2,62
12 7,67 3,43 11,78 156,88 254,65 50,17 30,93
Сумма 283,50 -0,00 82,59 1 173,36 1 090,77 214,92 125,17
Среднее 23,63 -0,00 6,88 97,78 90,90 17,91 10,43
Далее вычисляем значения t – критерия Стьюдента:
tb=bmb=-2,2530,196=-11,492.
Табличное значение t-статистики Стьюдента: t0,05;10=2,228
Поскольку наблюдаемое значение t-критерия Стьюдента для коэффициента регрессии b превышает соответствующее критическое значение на уровне значимости а = 0,05 гипотеза H0 отклоняется, следовательно, b отличается от нуля не случайно и коэффициент регрессии является статистически значимым.
6