Плотность распределения вероятностей f(x) непрерывной случайной величины X

1) Определим коэффициент А из условию нормировки:
-∞+∞fxdx=1
12Ax3dx=Ax4412=A*244-A*144=154A
154A=1
A=415
fx=0, x<1415x3, 1≤x≤20, x>2
2) Найдем функцию распределения F(x) по определению Fx=-∞xftdt. Получаем:
Пусть x<1, тогда fx=0, тогда Fx=-∞xftdt=-∞x0dt=0
Пусть 1<x<2, тогда fx=415x3, тогда
Fx=-∞xftdt=-∞10dt+4151xt3dt=415*t441x=t4151x=x415-1415=115x4-1
Пусть x>2, тогда fx=0, тогда
Fx=-∞xftdt=-∞10dt+41512t3dt+2x0dt=415*t4412=t41512=2415-1415=1
Таким образом
Fx=0, x<1115x4-1, 1≤x≤21, x>2
3) Схематично построим графики F(x) и f(x)
4) Найдем математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X):
MX=-∞+∞xfxdx=41512x4dx=415*x5512=4*x57512=4*2575-4*1575=12475
DX=-∞+∞x2fxdx-MX2=41512x5dx-124752=415*x6612-124752=4*x69012-124752=4*2690-4*1690-124752=3745625
5) найдем вероятность того, что Х примет значение из интервала (1.1, 1.5)
Pα<X<β=Fβ-Fα
P1.1<X<1.5=F1.5-F1.1=1151.54-1-1151.14-1≈0.2399