Пирамида A1A2A3A4 задана координатами своих вершин. Вычислить длину ребра A1A2
.pdf
Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥
Пирамида A1A2A3A4 задана координатами своих вершин. Вычислить длину ребра A1A2, угол между рёбрами A1A2 и A1A4, угол между ребром A1A2 и гранью A1A2A3, площадь грани A1A2A3, объём пирамиды. Составить уравнение прямой A1A2, уравнение плоскости A1A2A3, уравнение высоты из вершины A4 к грани A1A2A3. Сделать чертёж.
A11, 8, 2, A25, 2, 6, A35, 7, 4, A44, 10, 9
Нужно полное решение этой работы?
Решение
1) Длина ребра – это длина вектора, который соединяет соответствующие точки. Значит:
A1A2=1-52+8-22+2-62=16+36+16=68≈8,25
2) Угол α между ребрами – это угол между векторами A1A2 и A1A4
Найдем координаты векторов:
A1A2=5-1;2-8;6-2=4;-6;4
A1A4=4-1;10-8;9-2=3;2;7
cosα=A1A2∙A1A4A1A2∙A1A4=4∙3-6∙2+4∙768∙9+4+49=2868∙62=284216=141054
α=arccos141054≈1,13≈64,5o
3) Угол β между ребром A1A2 и гранью A1A2A3 – это угол между вектором A1A2 и вектором-проекцией, который лежит в плоскости грани A1A2A3. Но вектор A1A2 лежит в плоскости грани, поэтому β=0
4) Площадь грани A1A2A3 есть половина площади параллелограмма, построенного на векторах A1A2 и A1A3
. Площадь параллелограмма, построенного на векторах A1A2 и A1A3, есть модуль векторного произведения этих векторов, а потому площадь треугольника можно найти по формуле
SA1A2A3=12A1A2×A1A3
A1A2=5-1;2-8;6-2=4;-6;4
A1A3=5-1;7-8;4-2=4;-1;2
A1A2×A1A3=ijk4-644-12=i∙-64-12-j∙4442+k∙4-64-1=-8i+8j+20k=-8;8;20
SA1A2A3=12A1A2×A1A3=12∙-82+82+202=5282=4332=233≈11,5 (кв.ед.)
5) объем пирамиды A1A2A3A4
Найдем координаты векторов
A1A2=5-1;2-8;6-2=4;-6;4
A1A3=5-1;7-8;4-2=4;-1;2
A1A4=4-1;10-8;9-2=3;2;7
Объем пирамиды, построенной на векторах A1A2, A1A3 и A1A4 равен
V=164-644-12327=16∙4∙-1227-6∙4237+4∙4-132=
=16∙-44-132+44=16∙-132=11 (куб.ед.)
6) Уравнение прямой A1A2 в пространстве, которая проходит через 2 точки A1x1,y1,z1 и A2x2,y2,z2 имеет вид:
x-x1x2-x1=y-y1y2-y1=z-z1z2-z1
В нашем случае запишем уравнение прямой:
x-15-1=y-82-8=z-26-2
x-14=y-8-6=z-24
7) Составим уравнение плоскости A1A2A3, проходящей через точки A11, 8, 2, A25, 2, 6, A35, 7, 4 имеет вид:
x-1y-8z-25-12-86-25-17-84-2=0
x-1y-8z-24-644-12=0
Распишем определитель по первой строке:
x-1∙-64-12-y-8∙4442+z-2∙4-64-1=0
x-1∙-12+4-y-8∙8-16+z-2∙-4+24=0
-8x-1+8y-8+20z-2=0
-8x+8+8y-64+20z-40=0
-8x+8y+20z-96=0
8) уравнение высоты из вершины A4 к грани A1A2A3
Уравнение высоты – уравнение прямой, проходящей через точку A4, перпендикулярно плоскости грани A1A2A3
A44, 10, 9
A1A2A3: -8x+8y+20z-96=0
Так как вектор с координатами {-8; 8; 20} является нормальным вектором плоскости грани A1A2A3, то он является направляющим вектором высоты, проведенной на эту плоскость.
x-4-8=y-108=z-920
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
