Переход от одного осевого меридиана зоны к другому в проекции Гаусса-Крюгера

При использовании проекции Гаусса поверхность эллипсоида делится на зоны. Изображение какой-либо зоны на плоскости представляет собой точную копию изображения любой другой зоны. Это означает, что для вычисления координат и редукций в любой зоне могут применяться одни и те же формулы, что составляет большое преимущество проекции Гаусса перед другими проекциями. [1]
Разделение поверхности земного эллипсоида на зоны стандартизует вычисления, но вызывает затруднения при установлении связи между точками, расположенными в разных зонах. В этом случае возникает необходимость перевычисления координат геодезических пунктов одной зоны в систему плоских координат зоны с другим осевым меридианом (по существу возникает необходимость в расширении одной из зон).
Таким образом задача преобразования плоских координат с осевым меридианом одной зоны в другую систему состоит в том, чтобы по заданным координатам точки первой зоны определить координаты этой же точки в системе координат соседней зоны.
L0л=27°-6°=21°
lп=L1-(L0)п=27°05'13,4300"-27°00'00,0000=+5'13,4300"
lл=L1-(L0)л=27°05'13,4300"-21°00'00,0000=+6°05'13,4300"
Контроль:
lл-lп=6°05'13,4300"-5'13,4300"=6° ✓
По геодезическим координатам точки с новым значением удаления от осевого меридиана левой (западной) зоны ℓл вычисляются значения плоских координат точки в системе координат левой (западной) зоны.
Для симметричных проекций функции преобразования представляются в виде рядов разложения по степеням ординаты y:
B=A0+A2y2+A4y4+...;
(7.1)
l=P1y+P3y3+P5y5...;
(7.2)
где l=L-L0;
(7.3)
Для любой точки осевого меридиана (ℓ =0) при соблюдении условия Гаусса, что для осевого меридиана Х = х, ее широта равна ВХ = А0.
Используя формулу для длины дуги меридиана, имеем:
A0=Bx=0XdXM=0xdxM;
(7.4)
- широта точки на осевом меридиане с плоскими координатами x и y = 0 и геодезическими B0, L0, т.е . при l = 0.
Bx=β+b2sin2β+b4sin4β+b6sin6β+…;
(7.5)
где β=xa0;
(7.6)
Значения коэффициентов a и b для эллипсоида Крассовского и WGS-84 приведены в таблице 7.1.
Таблица 7.1
Значения коэффициентов a и b
Крассовского WGS-84
a0, м 6367558,497 6367449,146
b2, м 0,002518465 0,002518827
b4, м 0,000003700 0,000003701
b6, м 0,000000007 0,000000007
Вычислив значение Вх, вычисляют значения коэффициентов А и Р:
A2=Vx2tgBx2Nx2;
(7.7)
Nx=a1-e2sin2B;
(7.8)
Vx=cNx;
(7.9)
A4=A212Nx4(5+3tg2Bx+ηx2-9ηx2tg2Bx-4ηx4);
(7.10)
A6=A2360Nx4(61+90tg2Bx+45tg4Bx+46ηx2-252ηx2tg2Bx-90ηx2tg4Bx);
(7.11)
P1=1NxcosBx;
(7.12)
P3=-P16Nx2(1+2tg2Bx+ηx2);
(7.13)
P5=P1120Nx4(5+28tg2Bx+24tg4Bx+6ηx2+8ηx2tg2Bx);
(7.14)
С этими коэффициентами значения координат выражаются в радианах.
Значение долготы определяется как:
L=L0+l;
(7.15)
т.е. необходимо знать значение долготы осевого меридиана L0 зоны, в которой находится точка.
Если численные значения коэффициентов вычислять по элементам эллипсоида Красовского, то можно воспользоваться более удобными формулами:
B=Bx-1-b4-0,12z2z2z2b2;
(7.16)
l=(1-b3-b5z2z2)z;
(7.17)
Bx=β+50221746+293622+2350+22cos2βcos2βcos2Bsinβcosβ10-10;
(7.18)
β=x6367558,4969;
(7.19)
z=yNxcosBx;
(7.20)
b2=0,5+0,003369cos2BxsinBxcosBx;
(7.21)
b3=0,333333-0,166667-0,001123cos2Bxcos2Bx;
(7.22)
b4=0,25+0,16161+0,00562cos2Bxcos2Bx;
(7.23)
b5=0,2-0,1667-0,0088cos2Bxcos2Bx;
(7.24)
Результаты вычислений представлены в таблице 7.2
Таблица 7.2
Обозначения Значения Обозначения Значения
Bрад
0.912133162 a2, м 1546852.907
lрад
0.085295356 a4, м 161933.1811
sinB
0.790811162 a6, м -20349.55487
cosB
0.612060215 b3, м -162884.6975
cos2B
0.374617706 b5, м -102808.254
sinBcosB
0.484024049 6367558,4969B
5808061.268
l2
0.007275298 x, м 5803791.4088
N, м 6391636.568 b3l3+b5l5
-101.5420993
Nl2
46501.05875 NlcosB
333681.0991
y, м 333579.5570
Для контроля по полученным значениям плоских координат точки вычисляют ее геодезические координаты.
Уравнения симметричных проекций при малом значении ℓi, где
li=Li-L0;
(7.26)
представляются степенными рядами общего вида как
x=a0+a2l2+a4l4+a6l6+…;
(7.27)
или x=X+a2l2+a4l4+a6l6+…;
(7.28)
y=b1l+b3l3+b5l5+…;
(7.29)
где X=A0B-A22sin2B+A44sin4B-A66sin6B+…;
(7.30)
Значения коэффициентов А для эллипсоидов Красовского, WGS-84 и ПЗ-90 представлены в таблице 7.2
Таблица 7.2
Значения коэффициентов А
Крассовского WGS-84 ПЗ-90
A0, м 6367558,497 6367449,147 6367446,861
A2, м 32072,960 32077,017 32076,935
A4, м 67,312 67,330 67,322
A6, м 0,132 0,132 0,130
Значения коэффициентов a и b вычисляются по формулам:
a2=12NsinBcosB;
(7.31)
a4=124NsinBcos3B(5-tg2B+9η2+4η4);
(7.32)
где η=e1cosB;
(7.33)
a6=1720NsinBcos5B(61-58tg2B+tg4B+270η2-330η2tg2B);
(7.34)
b1=NcosB;
(7.35)
b3=16Ncos3B(1-tg2B+η2);
(7.36)
b5=1120Ncos5B(5-18tg2B+tg4B+14η2-58η2tg2B);
(7.37)
Решение задачи с элементами эллипсоида Крассовского приведено в таблице 7.4
Таблица 7.4
Обозначения Значения Обозначения Значения
βрад
0.911462598 η2
0.002512855
sinβ
0.790400558 a2, м -1.59109E-14
sin2β
0.624733042 a4, м 3.24855E-28
cos2β
0.375266958 b3, м -4.56314E-21
sinβcosβ
0,478261045 b5, м 1.5351E-34
Bx, рад 0.913899645 η2a2
-3.99818E-17
e2
0.006693427 Bрад
0.912133162
Nx, м 6391673.284 B
52°15'40‚97001''
cos2Bx
0.372908453 lрад
0.085295359
cosBx
0.610662307 l"
307.0633''
NxcosBx
3903153.951 l0
4°53'13‚43061''
η
0.050128388 L0
25°53'13‚43061''
ВЫВОДЫ
В процессе вычисления работы были получены и закреплены на практике знания по теории преобразования плоских координат проекции Гаусса при переходе от осевого меридиана одной зоны к осевому меридиану другой зоны.
В ходе решения лабораторной работы были определены значения плоских координат заданной точки в системе соседней с запада шестиградусной зоны.
Разница в исходных и вычисленных геодезических координатах составляет:
∆B=Bисх-Bвыч=53°27'40,97000"-53°27'40,97001"=0,00001"
∆L=Lисх-Lвыч=27°05'13,4300"-27°05'13,43061"=0,00061"