Парная нелинейная регрессия
Исходные данные для решения задания представлены в таблице 3.
Таблица 3 – Исходные данные для задания 3
Номер месяца 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Среднедневная выработка, т. у. 5,37 9,32 14,17 19,92 26,57 34,12 42,57 51,92 62,17 73,32
Требуется:
Рассчитать параметры уравнения нелинейной парной регрессии.
Оценить тесноту связи зависимой переменной (результативного фактора) с объясняющей переменной с помощью показателей корреляции и детерминации.
Оценить с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность моделирования.
Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.
Определить среднюю ошибку аппроксимации.
Используя коэффициент эластичности, выполнить количественную оценку влияния объясняющего фактора на результат.
На одном графике отложить исходные данные и теоретическую прямую.
Решение
Рассчитать параметры уравнения нелинейной парной регрессии.
На рисунке 3 представим графически исходные данные и по направления кривой определим подходящее уравнение парной нелинейной регрессии.
Рисунок 3 – Корреляционное поле
На основе построенного корреляционного поля можно предположить наличие между месяцем и среднедневной выработкой степенного тренда, который имеет вид: y=a×tb.
Поскольку степенная регрессия нелинейна по параметрам необходимо произвести следующее линеаризующее преобразование: y' = Ln(y); x' = Ln(x). Строим вспомогательную таблицу 4 для расчета параметров уравнения.
Таблица 4 – Вспомогательные расчеты
№ t y Ln(t) Ln(y) Ln(t)Ln(y) Ln(t)²
1 1 5,37 - 1,68 - -
2 2 9,32 0,69 2,23 1,55 0,48
3 3 14,17 1,10 2,65 2,91 1,21
4 4 19,92 1,39 2,99 4,15 1,92
5 5 26,57 1,61 3,28 5,28 2,59
6 6 34,12 1,79 3,53 6,32 3,21
7 7 42,57 1,95 3,75 7,30 3,79
8 8 51,92 2,08 3,95 8,21 4,32
9 9 62,17 2,20 4,13 9,07 4,83
10 10 73,32 2,30 4,29 9,89 5,30
сумма 55,00 339,45 15,10 32,49 54,69 27,65
среднее 5,50 33,95 1,51 3,25 5,47 2,77
Пользуясь данными таблицы 4, определим параметры степенного уравнения тренда:
b=Ln(t)Ln(y)-Ln(t)×Ln(y)Ln(t)2-Ln(t)2=5,47-1,51×3,252,77-1,512=1,160;
Lna=Ln(y)-b×Ln(t)=3,25-1,160×1,51=1,497.
Для того, чтобы привести полученное уравнение к первоначальному виду произведем потенцирование:
a=e1,497=4,467.
Таким образом уравнение степенного тренда имеет вид:
y=4,467×t1,160.
Поскольку только для степенной регрессии коэффициент регрессии b по своей сущности представляет собой средний коэффициент эластичности, построенное уравнение регрессии показывает, что с каждым последующим месяцем среднедневная выработка увеличивается в среднем на 1,160%.
Оценить тесноту связи зависимой переменной (результативного фактора) с объясняющей переменной с помощью показателей корреляции и детерминации
.
Осуществим вспомогательные расчеты, которые представим в виде таблице 5.
Таблица 5 – Вспомогательные расчеты
№ y t ŷ А (y-ŷ)² (y-yср)²
1 5,37 1 4,47 16,82 0,82 816,53
2 9,32 2 9,98 7,11 0,44 606,39
3 14,17 3 15,98 12,77 3,27 391,05
4 19,92 4 22,31 12,00 5,72 196,70
5 26,57 5 28,90 8,78 5,45 54,39
6 34,12 6 35,71 4,67 2,54 0,03
Продолжение таблицы 5
№ y t ŷ А (y-ŷ)² (y-yср)²
7 42,57 7 42,71 0,32 0,02 74,39
8 51,92 8 49,86 3,96 4,23 323,10
9 62,17 9 57,16 8,05 25,06 796,65
10 73,32 10 64,60 11,90 76,09 1 550,39
сумма 339,45 55,00 331,69 86,38 123,63 4 809,63
среднее 33,95 5,50 33,17 8,64 12,36 480,96
Определим индекс корреляции, используя данные таблицы 5:
R=1-y-y2y-y2=1-123,364 809,63=0,987.
Значение индекса корреляции свидетельствует о весьма высокой прямой корреляционной связи между фактором и признаком.
Коэффициент детерминации составит:
R2=1-y-y2y-y2=1-123,364 809,63=0,974.
Индекс детерминации демонстрирует хорошее качество подбора, построенного уравнения степенного тренда, так как 97,4% вариации у описывается вариацией фактора. На долю неучтенных в моделе факторов приходится лишь 2,6%.
Оценить с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность моделирования
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
