Отдел маркетинга фирмы проводит опрос для выяснения мнений потребителей по определенному типу продукции. Известно, что среди n=28 клиентов фирмы k=10 являются потребителями интересующей фирму продукции и с вероятностью p=0,8 могут дать ей квалифицированную оценку. Фирма случайным образом отбирает четырех клиентов из общего числа клиентов. Чему равна вероятность того, что в ходе опроса будет получена квалифицированная оценка продукции?
Ответ
вероятность того, что в ходе опроса будет получена квалифицированная оценка продукции, равна 0,7565.
Решение
P=0.8; q=1-p=0.2
Обозначим события:
X – в ходе опроса будет получена квалифицированная оценка продукции (искомое событие); оно произойдет, если хотя бы один из четырех отобранных клиентов сможет дать квалифицированную оценку продукции.
Х – в ходе опроса квалифицированная оценка продукции не будет получена (оно произойдет, если ни один из четырех отобранных клиентов не сможет дать квалифицированную оценку продукции).
Отобранные 4 клиента могут как быть потребителями интересующей фирму продукции, так и не быть ими, поэтому введем обозначения гипотез:
H1 – все четыре выбранных клиента оказались потребителями продукции фирмы;
H2 – только три клиента из выбранных четырех оказались потребителями продукции фирмы;
H3 – только два клиента из выбранных четырех оказались потребителями продукции фирмы;
H4 – только один клиент из выбранных четырех оказался потребителем продукции фирмы;
H5 – ни один из выбранных четырех клиентов не оказался потребителем продукции фирмы.
Найдем вероятности гипотез по классическому определению вероятности.
Общее число исходов испытания равно числу способов, которыми можно выбрать 4 клиентов из 28:
N=C284=28!4!28-4!=28!4!24!=25∙26∙27∙281∙2∙3∙4=20475
H1: количество благоприятствующих исходов равно числу способов, которыми можно выбрать 4 клиентов из 10:
m1=C104=10!4!10-4!=10!4!6!=7∙8∙9∙101∙2∙3∙4=210
pH1=m1N=21020475=141365
H2: количество благоприятствующих исходов равно числу способов, которыми можно выбрать 3 клиентов (потребляющих продукцию) из 10 и 1 клиента (не потребляющего продукцию) из 28–10=18:
m2=C103C181=10!3!7!∙18!1!17!=8∙9∙10∙181∙2∙3=2160
pH2=m2N=216020475=1441365
H3: количество благоприятствующих исходов равно числу способов, которыми можно выбрать 2 клиентов (потребляющих продукцию) из 10 и 2 клиента (не потребляющего продукцию) из 18:
m3=C102C182=10!2!8!∙18!2!16!=9∙10∙18∙172∙2=6885
pH3=m3N=688520475=4591365
H4: количество благоприятствующих исходов равно числу способов, которыми можно выбрать 1 клиента (потребляющего продукцию) из 10 и 3 клиентов (не потребляющих продукцию) из 18:
m4=C101C183=10!1!9!∙18!3!15!=10∙18∙17∙162∙3=8160
pH4=m4N=816020475=5441365
H5: количество благоприятствующих исходов равно числу способов, которыми можно выбрать 4 клиентов (не потребляющих продукцию) из 18:
m5=C184=18!4!14!=18∙17∙16∙152∙3∙4=3060
pH5=m5N=306020475=2041365
Проверка:
pHi=141365+1441365+4591365+5441365+2041365=1
Найдем условные вероятности PX/Hi:
PX/H1: ни один клиент не дал квалифицированную оценку при условии, что все они являются потребителями продукции:
PX/H1=q4=0.24=0.0016
PX/H2: ни один клиент не дал квалифицированную оценку при условии, что трое из них являются потребителями продукции:
PX/H2=q3=0.23=0.008
PX/H3: ни один клиент не дал квалифицированную оценку при условии, что двое из них являются потребителями продукции:
PX/H3=q2=0.22=0.04
PX/H4: ни один клиент не дал квалифицированную оценку при условии, что один из них является потребителем продукции:
PX/H4=q=0.2
PX/H5: ни один клиент не дал квалифицированную оценку при условии, что ни один из них не является потребителем продукции:
PX/H5=1
Тогда по формуле полной вероятности вероятность того, что ни один из отобранных клиентов не даст квалифицированную оценку продукции (событие X), равна:
PX=i=15PHi∙PXHi==141365∙0,0016+1441365∙0,008+4591365∙0,04+5441365∙0,2+2041365∙1==0,2435
Тогда искомая вероятность: PX=1-PX=1-0.2435=0.7565
Ответ: вероятность того, что в ходе опроса будет получена квалифицированная оценка продукции, равна 0,7565.
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
