Основные алгебраические системы, используемые в теории кодирования
Показать, что множество всех целых чисел (положительных, отрицательных и нуля) является группой по операциям:
обычного сложения G+,
обычного умножения Gх.
В группе G+ по операции сложения выделить подгруппу, состоящую из чисел:
кратных 3,
кратных 4,
кратных 5.
Построить смежные классы для каждой из этих подгрупп.
Решение
К множеству целых чисел относятся все положительные или отрицательные числа, не являющиеся дробями, и нуль.
Для всех целых чисел по операции обычного сложения G+ выполняются следующие свойства:
коммутативности a+b=b+a;
ассоциативности: (a+b)+c=a+(b+c);
существует такое целое число e, что при любом целом числе a выполняется соотношение e+a=a+e=a. Это целое число e=0;
для любого числа a существует такое число –a, что выполняется соотношение a+(-a)=(-a)+a=0. То есть любое целое число имеет противоположное ему число.
В множестве целых чисел сложение всегда выполнимо, то есть сумма любых двух целых чисел также является целым числом. Таким образом, множество целых чисел с операцией сложения является группой.
В множестве целых чисел умножение всегда выполнимо, то есть произведение любых двух целых чисел также является целым числом
. Проверим, обладает ли оно тремя свойствами группового умножения.
умножение ассоциативно. Действительно, умножение чисел обладает ассоциативностью (a*b)*c=a*(b*c).
существует такое целое число e, что при любом целом числе a выполняется соотношение e*a=a*e=a. Это целое число e=1.
обратный элемент не существует. 1:a=1a – это дробь, которая не является целым числом и при a=0, выражение 10 не имеет смысла не множестве целых действительных чисел.
Следовательно, целые числа не образуют группу по умножению: во множестве целых чисел деление выполнимо не во всех случаях.
В группе G+ по операции сложения выделим подгруппу, состоящую из чисел кратных 3 и построим смежные классы для этой подгруппы.
Пусть H3 – подгруппа, состоящая из всех чисел х кратных 3, то есть x=3k, kG+, тогда таблица разложения G+ по H3 на смежные классы состоит из двух строк:
{0} 3 -3 6 -6 9 -9 12 -12 ….
{1} 1 -1 2 -2 4 -4 5 -5 …
где {0} – подгруппа, содержащая все целые числа, кратные 3,
{1} – смежный класс, содержащий целые числа, которые не обладают кратностью на 3.
{0} = H3 = {х | х=3k, k∈G+}, {1} = {х | х=3k+m, где 1≤m<3, k и m∈ G+}.
В группе G+ по операции сложения выделим подгруппу, состоящую из чисел кратных 4 и построим смежные классы для этой подгруппы.
Пусть H4 – подгруппа, состоящая из всех чисел х кратных 4, то есть x=4k, kG+, тогда таблица разложения G+ по H4 на смежные классы состоит из двух строк:
{0} 4 -4 8 -8 12 -12 16 -16 ….
{1} 1 -1 2 -2 3 -3 5 -5 …
где {0} – подгруппа, содержащая все целые числа, кратные 4,
{1} – смежный класс, содержащий целые числа, которые при делении на 4 дают остаток 1, 2 или 3.
{0} = H3 = {х | х=4k, k∈G+}, {1} = {х | х=4k+m, где 1≤m<4, k и m∈ G+}.
В группе G+ по операции сложения выделим подгруппу, состоящую из чисел кратных 5 и построим смежные классы для этой подгруппы.
Пусть H4 – подгруппа, состоящая из всех чисел х кратных 5, то есть x=5k, kG+, тогда таблица разложения G+ по H4 на смежные классы состоит из двух строк:
{0} 5 -5 10 -10 15 -15 20 -20 25 ….
{1} 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4 6 …
где {0} – подгруппа, содержащая все целые числа, кратные 5, т.е
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
