Определить систему на устойчивость по критерию Найквиста

Передаточная функция объекта:
Wобp=KоTap+1e-τp=0.54p+1e-2p
Передаточная функция регулятора:
Wрp=1Tup=1p
Передаточная функция разомкнутой системы:
Wp=WрpWобp=0.5(4p+1)pe-2p
Очевидно, что разомкнутая система астатическая. В данном случае в соответствии с критерием Найквиста для устойчивости замкнутой системы необходимо, чтобы годограф разомкнутой системы с дополнением (годограф «замыкается» на бесконечности) не охватывал точку (-1,j0).
Построим годограф разомкнутой системы без запаздывания.
Для построения любых частотных характеристик линейной системы, описываемой математически, необходимо знать её частотную передаточную функцию (ЧПФ). ЧПФ можно получить из передаточной функции, выполнив подстановку:
p=iω,
где i=-1 – мнимая единица;
ω – частота.
Получим частотную передаточную функцию:
Wiω=0.54iω2+iω=0.5-4ω2+iω=0.5-4ω2-iω-4ω22+ω2=
=-2ω2-4ω22+ω2+-i0.5ω-4ω22+ω2=Pω+jQω
Вещественная составляющая ЧПФ (ВЧХ):
Pω=-2ω2-4ω22+ω2
Мнимая составляющая ЧПФ (МЧХ):
Qω=-0.5ω-4ω22+ω2
Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) представляет собой годограф вектора W(jω) при изменении частоты ω от 0 до ∞ . АФЧХ может быть построена в декартовой системе координат, в которой по оси абсцисс откладываются значения P(ω), а по оси ординат – Q(ω). Построим годограф разомкнутой системы. Точки для построения годографа приведены в таблице 2, график – на рис. 3.1.
Таблица 2. Расчет годографа разомкнутой системы
 ω
0 0,1 0,2 0,4 0,5 0,6 0,8 1 2 ∞
 Pω
-∞ -1,724 -1,220 -0,562 -0,400 -0,296 -0,178 -0,118 -0,031 0
 Qω
-∞ -4,310 -1,524 -0,351 -0,200 -0,123 -0,056 -0,029 -0,004 0
Рис. 3.1. Годограф разомкнутой системы без учета запаздывания
Очевидно, что годограф разомкнутой системы с дополнением не охватывает точку (-1,j0), значит, в соответствии с критерием Найквиста замкнутая система будет устойчивой. Однако исследована была система без запаздывания, теперь необходимо учесть запаздывание.
2. Чтобы построить АФЧХ системы с запаздыванием каждую амплитуду необходимо повернуть по часовой стрелке на соответствующий угол γ, который рассчитывается по формуле:
γi=τωi= 2ωi.
Длина амплитуд при этом не меняется