Определить область сходимости ряда n=1∞-1n2n-1xn

Определить область сходимости ряда: n=1∞-1n2n-1xn Решение. Коэффициенты ряда an=12n-1;an+1=12(n+1)-1=12n+1 Ищем радиус сходимости R=limn→∞anan+1=limn→∞12n-1∙2n+11=limn→∞2n+12n-1=limn→∞2n/n+1/n2n/n-1/n= =limn→∞2+1/n2-1/n=1 Следовательно, ряд сходится при x<1 и расходится при x>1. Исследуем отдельно точки x=±1 x=1. В этой точке ряд равен n=1∞-1n2n-1=-12n-1+12n-1-12n-1+…+-1n12n-1+…, т. е. ряд знакочередующийся. По теореме Лейбница он сходится. Действительно, здесь Un=12n-1;Un+1=12n+1 1) 12n-1>12n+1 , т.е. Un>Un+1;2) limn→∞Un=limn→∞12n-1=0 x=-1. В этой точке ряд равен n=1∞-1n2n-1-1n=n=1∞-12n2n-1=n=1∞12n-1 Используем интегральный признак сходимости. Заменим n→x. Тогда Ux=12x-1; dx2x-1=t=2x-1dt=2dx;dx=12dt=12dtt=12lnt=12ln2x-1 1∞Uxdx=1∞dx2x-1=12ln2x-1∞ 1=12ln∞-ln1=∞, ряд расходится. Ряд сходится. Интервал сходимости -1<x≤1 или x∈(-1;1] 4.19. В вазе у продавца стоит 20 гвоздик, из них 5 красных, 5 желтых и10 белых. Наудачу отбирают в букет 5 штук. Какова вероятность, что средиотобранных будут: а) 3 белых и 2 красных гвоздики; б) 1 белая, 2 желтых и2 красных гвоздики?