Определить типы дифференциальных уравнений первого порядка и решить их x2x2+y2yx2+2y2=-y'

X2x2+y2dx+yx2+2y2dy=0
Проверим условие ∂P∂y≡∂Q∂x. Имеем:
P(x,y)=x2x2+y2; Q(x,y)=yx2+2y2
∂P∂y=2xy;
∂Q∂x=2xy.
Таким образом, ∂P∂y≡∂Q∂x и уравнение является уравнением в полных
дифференциалах, тогда
P(x,y)=∂U∂x=x2x2+y2;
Q(x,y)=∂U∂y=yx2+2y2.
Ux,y=2x3+xy2dx=x4+x2y22+φ(y)
Продифференцируем найденную функцию U(x,y) по переменной y:
∂U∂y=x2y+φ'(y)
Учитывая, что
Q(x,y)=∂U∂y=yx2+2y3,
получим уравнение, из которого найдём функцию φ(y):
x2y+φ'(y)=yx2+2y3
φ'y=2y3⇒φy=y42+C
Таким образом,
Ux,y=x4+x2y22+y42+C
Общий интеграл исходного дифференциального уравнения
x4+x2y2+y4=C
Ответ: x4+x2y2+y4=C.