Определение устойчивости системы согласно критериям Михайлова и Найквиста

Записываем передаточную функцию:
Ws=4030s+10,1s+12(0,01s+1)
2.1. Критерий Михайлова
Согласно критерия Михайлова система устойчива, если годограф, начинаясь на действительной положительной полуоси, обходит в положительном направлении (т.е. в порядке 1-2-3-4-1….) n квадрантов координатной плоскости, где n – порядок характеристического уравнения.
Записываем характеристический полином:
Ds=30s+10,1s+120,01s+1+40
Выполняем замену s=jω и выделяем действительную и мнимую части:
Ds=30jω+10,1jω+120,01jω+1+40=
=30,01jω+1-0,3ω20,2jω+1-0,01ω2+40=
=0,003ω4-6,312ω2+41+j-0,3601ω3+30,21ω
Получили:
Uω=0,003ω4-6,312ω2+41Vω=-0,3601ω3+30,21ω
Вычислим U(ω) и V(ω) для ряда значений частоты ωи строим график средствами MS Excel (функция D(jω) на комплексной плоскости изображается вектором, начало которого расположено в точке 0, а конец определяется координатами U(ω) и V(ω)).
Строим график:
ω
0 0,5 1 3 5 8 12 15 25 30 50
Uω
41 39,42 34,69 -15,57 -114,93 -350,68 -805,72 -1227,33 -2732,13 -3209,8 3011
Vω
0 15,06 29,85 80,91 106,04 57,31 -259,73 -762,19 -4871,31 -8816,4 -43502
Поскольку не видно поведение годографа при низких частотах, то отдельно построим график в малой окрестности точки ω=0:
ω
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 2 5 7 9 10
Uω
41 40,75 39,99 38,73 36,96 34,69 15,8 -114,93 -261,09 -450,59 -560,2
Vω
0 6,04 12,06 18,05 23,98 29,85 57,54 106,04 87,96 9,38 -58
Как видим, годограф Михайлова начинается на действительной полуоси и проходит четыре квадранта в положительном направлении 1-2-3-4, т.е . система управления – устойчива.
2.2 Критерий Найквиста
Согласно критерия Найквиста для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика устойчивой разомкнутой системы при изменении ω от 0 до∞ не охватывала точку с координатами-1;j.
Выполняем замену s=jω и выделяем действительную и мнимую части в передаточной функции:
Wjω=4030jω+10,1jω+12(0,01jω+1)=
=4030jω+10,1jω+12(0,01jω+1)∙1-30jω1-0,1jω2(1-0,01jω)1-30jω1-0,1jω2(1-0,01jω)=
=40(0,003ω4-6,312ω2+1)1+900ω21+0,01ω221+0,0001ω2+j40(0,3601ω3-30,21ω)1+900ω21+0,01ω221+0,0001ω2
Получили:
Uω=0,12ω4-252,48ω2+401+900ω21+0,01ω221+0,0001ω2Vω=14,404ω3-1208,4ω1+900ω21+0,01ω221+0,0001ω2
Вычислим U(ω) и V(ω) для ряда значений частоты ωи строим график средствами MS Excel:
ω
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,5 2 2,5 3 5
Uω
40 0,81 0 -0,16 -0,21 -0,23 -0,25 -0,25 -0,24 -0,23 -0,18
Vω
0 -6,52 -3,32 -2,21 -1,64 -1,3 -0,83 -0,59 -0,44 -0,34 -0,12
Т.к