Образующий полином g(x) = x5+x2+1. Код [15 10]. Найти проверочную матрицу Н кода

Скорость кода:

Избыточность кода:

Минимальное кодовое расстояние:

Проверочная матрица имеет 15 столбцов (соответствует длине кода) и 10 строк (соответствует количеству проверочных символов). Её нахождение выполняется путём непосредственного деления в соответствующих степенях на порождающий многочлен. В результате получены следующие остатки от деления:
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
Проверочная матрица имеет вид:

Нахождение порождающей матрицы кода
Для нахождения порождающей матрицы необходимо проверочную матрицу записать в виде системы уравнений проверки на чётность:

Последовательно приравнивая к единице каждый из информационных символов, можно найти порождающую матрицу в виде:
Количество ошибок, которое данный код может гарантированно исправить (для нечётного значения ):
Из матрицы G видно, что минимальное кодовое расстояние данного кода dmin = 3.
Следовательно, количество ошибок tи, которое данный код может гарантированно исправить:

Количество ошибок, которое данный код может гарантированно обнаружить:
Матрицы синдромов для случаев однократной ошибки в кодовом слове
Матрицы синдромов определяются из системы уравнений, получаемой на основе проверочной матрицы H:

Синдромы для ошибок в каждом из символов: