Обработка результатов равноточных многократных измерений.
1.1. Определить основные статистические показатели.
1.2. Построить гистограмму.
1.3. Построить теоретическую кривую нормального распределения на том же графике.
1.4. Определить доверительный интервал рассеивания случайных погрешностей вокруг среднего значения.
1.5. Определить суммарную погрешность обработки.
1.6. Ответить на вопросы: Для чего необходимо строить на одном графике теоретическую кривую нормального распределения и гистограмму? Какие выводы можно сделать по данному графику?
ВАРИАНТ 05. Обработка результатов равноточных многократных измерений с получением среднего арифметического X, среднеквадратичного отклонения Sx, и определением суммарной погрешности измерения в виде доверительного интервала ±∆Pд.
Исходные данные
Цена деления прибора С, мм 0,001
Результаты измерений, мм
1 58,011 11 58,007 21 58,015 31 58,017 41 58,011 51 57,997
2 58,013 12 58,001 22 58,007 32 58,009 42 58,005 52 58,011
3 58,006 13 58,015 23 58,005 33 58,009 43 58,007 53 57,999
4 58,009 14 58,008 24 58,013 34 58,013 44 58,015
5 58,017 15 58,012 25 58,015 35 58,004 45 58,013
6 58,021 16 58,019 26 58,011 36 58,011 46 58,014
7 58,010 17 58,005 27 58,011 37 58,016 47 58,007
8 58,007 18 58,011 28 58,012 38 58,017 48 58,023
9 58,013 19 58,009 29 58,008 39 58,018 49 58,009
10 58,011 20 58,013 30 58,003 40 58,009 50 58,009
Доверительная вероятность Рд = 0,93 – показывает вероятность нахождения истинного значения в рассчитанном интервале.
Уровень значимости q = 0,1 – показывающий, что принятый закон рассеивания размеров не будет соответствовать реальному закону.
Решение
1. Построение гистограммы.
Определяем величину размаха R (поле рассеяния):
R = Xmax – Xmin=58,023 -57,997=0,026 мм.
Xmax = 58,023 мм – наибольшее из измеренных значений;
Xmin = 57,997 мм – наименьшее из измеренных значений.
Определяем число интервалов разбиения n, в соответствии с рекомендациями:
n =N=53=7,28.
Количество интервалов принимается ближайшим большим нечетным.
Принимаем n = 7.
Определяем ширину интервала h:
h ==0,0267=0,0037 мм.
Определяем границы интервалов Xmini – Xmaxi
1 интервал: Xmin1 – Xmax1
Xmin1 = Xmin=57,997 мм
Xmax1 = Xmin1 + h = 57,997+0,0037=58,0007 мм
2 интервал: Xmin2 – Xmax2
Xmin2 = Xmax1 = 58,0007 (мм)
Xmax2 = Xmin2 + h = 58,0044 (мм)
3 интервал: Xmin3 – Xmax3
Xmin3 = Xmax2 = 58,0044 (мм)
Xmax3 = Xmin3 + h = 58,0081 (мм)
4 интервал: Xmin4 – Xmax4
Xmin4 = Xmax3 = 58,0081 (мм)
Xmax4 = Xmin4 + h = 58,0118 (мм)
5 интервал: Xmin5 – Xmax5
Xmin5 = Xmax4 = 58,0118 (мм)
Xmax5 = Xmin5 + h = 58,0155 (мм)
6 интервал: Xmin6 – Xmax6
Xmin6 = Xmax5 = 58,0155 (мм)
Xmax6 = Xmin6 + h = 58,0192 (мм)
7 интервал: Xmin7 – Xmax7
Xmin7 = Xmax6 = 58,0192 (мм)
Xmax7 = Xmin7 + h = 58,0229~58,023 мм.
Определяем середины интервалов Xoi
1 интервал: Xo1 = Xmin1 + =57,99885 (мм)
2 интервал:Xo2 = Xmin2 + = 58,00255 (мм)
3 интервал:Xo3 = Xmin3 + = 58,00625 (мм)
4 интервал:Xo4 = Xmin4 + = 58,00995 (мм)
5 интервал:Xo5 = Xmin5 + = 58,01365 (мм)
6 интервал:Xo6 = Xmin6 + = 58,01735 (мм)
7 интервал:Xo7 = Xmin7 + = 58,0211 (мм)
Определение количества размеров попадающих в каждый интервал mi.
Используя заданную выборку, подсчитываем количество размеров попадающих в каждый интервал (если размер совпадает с границей интервала то его относят в интервал, находящийся слева по числовой оси)
Результаты выполненных выше расчетов занесем в таблицу:
Таблица 1.1
Номер интервала Границы интервала Середина интервала Xoi (мм) Число размеров в интервале, mi
Xmin (мм) Xmax (мм)
1 57,997 58,0007 57,99885 2 0,038
2 58,0007 58,0044 58,00255 3 0,057
3 58,0044 58,0081 58,00625 11 0,208
4 58,0081 58,0118 58,00995 16 0,302
5 58,0118 58,0155 58,01365 13 0,245
6 58,0155 58,0192 58,01735 6 0,113
7 58,0192 58,02 58,0211 2 0,038
Используя табличные данные, строим гистограмму рассеивания единичных замеров и теоретическую кривую нормального распределения:
3387090569595001504950501650X=58,011 мм
00X=58,011 мм
158686577089000
Рисунок 1.1
2
. Проверка выборки на соответствие нормальному закону распределения
При числе измерений свыше 50 проверка распределения на соответствие нормальному закону может выполняться по критерию Пирсона. При использовании этого критерия определяется параметр хи-квадрат по следующей формуле:
,
где Noi – теоретическая частота попадания в интервал.
Теоретическая частота попадания в интервал определяется по формуле:
φ(z) – плотность вероятности появления размеров в каждом интервале;
σx – среднеквадратичное отклонение размеров (СКО) выборки.
Считая, что СКО практически совпадает с его оценкой (σx ≈ Sx) приведем формулу, по которой определяется оценка СКО:
В данную формулу входит величина , которая представляет среднеарифметическое значение измеряемой величины и определяется по формуле:
X=153×(57,99885×2+58,00255×3+58,00625×11+58,00995×16++58,01365×13+58,01735×6+58,0211×2).
58,011 мм.
После подстановки 58,011 мм получим численные значения среднеарифметического и оценки СКО:
Sx=2*57,99885-58,0112+…+2*58,0211-58,011253=0,00131353.
Sx=0,005 мм.
Кроме полученных величин, для определения теоретической частоты попадания в интервал Noi необходимо знать плотность вероятности попадания размеров в каждом интервале.
Эту величину можно определить по формуле: ϕ(z)=e(-z22)2π
Так как расчеты по данной формуле достаточно сложны, значения плотности вероятности выбирают из таблицы в зависимости от безразмерного параметра Z, который для каждого интервала определяется по формуле: Zoi=Xoi-XSx.
Для 1 интервала:
Zo1 =-2,43, что соответствует величине φ(z) = 0,021.
Для 2 интервала:
Zo2 = -1,69, что соответствует величине φ(z) = 0,096.
Для 3 интервала:
Zo3 = -0,95, что соответствует величине φ(z) = 0,254.
Для 4 интервала:
Zo4 = -0,21, что соответствует величине φ(z) = 0,390.
Для 5 интервала:
Zo5 = 0,53, что соответствует величине φ(z) = 0,347.
Для 6 интервала:
Zo6 = 1,27, что соответствует величине φ(z) = 0,178.
Для 7 интервала:
Zo7 = 2,02, что соответствует величине φ(z) = 0,052.
Определяем теоретические значения количества деталей для каждого интервала Noi.
Noi=N×hSxϕZoi.
Для 1 интервала:
No1 =0,817.
Для 2 интервала:
No2 = 3,752.
Для 3 интервала:
No3 = 9,964.
Для 4 интервала:
No4 =15,305.
Для 5 интервала:
No5 = 13,596.
Для 6 интервала:
No6 = 6,985.
Для 7 интервала:
No7 = 2,034.
На основании результатов измерений и расчета теоретических данных определяем фактическую и теоретическую частоту попадания размеров в интервал:
Таблица 1.2
№ интервала Фактическая частота Теоретическая частота
1 0,038 0,015
2 0,057 0,071
3 0,208 0,188
4 0,302 0,289
5 0,245 0,257
6 0,113 0,132
7 0,038 0,038
Полученные результаты позволяют получить расчетную величину параметра χ-квадрат:
Таблица 1.3
№
интервала mi
Noi
mi-Noi
(mi-Noi)2
(mi-Noi)2Noi
1 2 0,817 1,183 1,399489 1,712961
2 3 3,752 -0,752 0,565504 0,150721
3 11 9,964 1,036 1,073296 0,107717
4 16 15,305 0,695 0,483025 0,03156
5 13 13,596 -0,596 0,355216 0,026127
6 6 6,985 -0,985 0,970225 0,138901
7 2 2,034 -0,034 0,001156 0,000568
χ2=(mi-Noi)2Noi=2,169.
Для совпадения фактического закона распределения с теоретическим законом нормального распределения необходимо, чтобы выполнялось следующее условие: ,
где – теоретическое граничное значение параметра хи-квадрат, которое определяется по таблице (таблица 2 задания к контрольной работе).
Для получения табличного значения необходимо определиться с двумя параметрами:
- уровнем значимости q, который показывает вероятность того, что законы не совпадут.
В нашем случае, в соответствии с заданием, q = 0,1;
- числом степеней свободы , которое определяется в зависимости от числа интервалов n и числа определяемых по статистике параметров, необходимых для совмещения модели и гистограммы r.
Для нормального закона распределения r = 2, так как закон однозначно характеризуется двумя параметрами – СКО и МО (математическим ожиданием).
Число степеней свободы определяется по формуле:
Таким образом, табличное значение χq2=7,78.
В силу того, что выполняется условие
χ2=2,169<χq2=7,78,
делаем вывод о том, что исходные данные соответствуют нормальному закону распределения.
3
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
