Обработка результатов прямых многократных наблюдений
Цифровым измерителем иммитанса Е7-14 проводились прямые многократные измерения сопротивления магазина сопротивлений марки Р33, номинальное значение которого равно 0,1 Ом. Измерения проводились в диапазоне рабочих температур измерителя иммитанса.
Получены результаты измерения Ri, мОм.
Проведенные измерения характеризуются неисключенной систематической погрешностью, задаваемой пределом допускаемого значения:
основной погрешности измерения измерителя Е7–14, определяемой по формуле (для диапазона измерения от 0,1 … 1000 мОм)
,
где Q – добротность катушки сопротивления (для данного магазина сопротивлений добротность Q = 0); Rk – конечное значение диапазона, Ом;
дополнительной погрешности измерения в диапазоне рабочих температур, которая задана формулой
,
где k – множитель, определяемый по таблице 4.
Таблица 4
Значение множителя k для расчета дополнительной погрешности Е7–14
Вторая цифра варианта 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Множитель k 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,2
Для устранения влияния соединительных проводов и переходных сопротивлений контактов был проведен ряд измерений при нулевом значении магазина сопротивлений. Получены результаты измерения R0i, мОм.
Требуется провести обработку результатов наблюдений:
− определить и исключить систематические погрешности;
− для исправленных результатов наблюдений вычислить среднее арифметическое значение, оценку СКО результатов наблюдений и оценку СКО среднего арифметического;
− проверить результаты измерений на наличие грубых погрешностей и промахов;
− проверить гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению;
− вычислить доверительные (интервальные) границы случайной погрешности результата измерения;
− вычислить границы неисключенной систематической погрешности θ;
− вычислить доверительные границы суммарной погрешности результата измерения и записать результат измерения.
Уровень значимости проверки гипотез принять q = 0,05, доверительные границы при расчете погрешностей Рд = 0,95.
Исходные данные:
− результаты измерения Ri: 145,37; 145,38; 145,39; 145,40; 145,40; 145,41; 145,42; 145,44; 145,45; 145,46; 145,46; 145,47; 145,48; 145,48; 145,49; 145,49 мОм.
− результаты измерения R0i: 45,25; 45,28; 45,32; 45,35; 45,37 мОм.
Решение
Определение систематической погрешности.
Систематическая погрешность измерения сопротивления состоит из трех составляющих, обусловленных: ненулевым значением сопротивления соединительных проводов и переходных контактов зажимов используемых средств измерений; основной и дополнительной погрешностями измерителя иммитанса Е7−14.
Первая из них может быть оценена исходя из данных измерений нулевого сопротивления магазина. Полученный ряд данных характеризуется средним арифметическим значением и оценкой его СКО:
Ro= 1n i=1nRoi, (3.1)
SRo = 1n∙(n-1)i=1n(Roi-Ro)2, (3.2)
где n – количество измерений;
Ro – среднее арифметическое значение нулевого сопротивления магазина, мОм;
SRo – оценка СКО нулевого сопротивления магазина, мОм.
Для удобства расчетов составим таблицу 3.5.
Таблица 3.5
Расчет среднего арифметического значения и оценки СКО сопротивления соединительных проводов и переходных контактов зажимов
Roi
Roi - Ro
(Roi - Ro)2
45,25 -0,064 0,004096
45,28 -0,034 0,001156
45,32 0,006 0,000036
45,35 0,036 0,001296
45,37 0,056 0,003136
∑Roi = 226,57
∑(Roi - Ro)2 = 0,00972
Ro= 15 i=1nRoi = 45,314 мОм
SRo = 15∙(5-1)i=1n(Roi-45,314)2 = 0,022 мОм
Сопротивление проводов постоянно присутствует в результатах измерений и по своей сути является систематической погрешностью, которая может быть исключена из результатов измерений путем введения поправки, равной θ = –45,314 мОм.
После введения поправки получается исправленный ряд значений сопротивления Rиi: 100,056; 100,066; 100,076; 100,086; 100,086; 100,096; 100,106; 100,126; 100,136; 100,146; 100,146; 100,156; 100,166; 100,166; 100,176; 100,176 мОм.
2. Определение среднего арифметического и оценки СКО исправленных результатов.
Среднее арифметическое исправленных значений сопротивления и его оценку СКО определяем по формуле:
Rи= 1n i=1nRиi, (3.3)
SRи = 1n∙(n-1)i=1n(Rиi-R)2, (3.4)
где Rиi – значений сопротивления исправленного ряда, мОм;
SRи – оценка СКО среднего арифметического исправленных значений сопротивления, мОм.
Для удобства расчетов составим таблицу 3.6.
Таблица 3.6
Расчет среднего арифметического значения и оценки СКО сопротивления магазина сопротивлений (по исправленному ряду значений)
Rиi
Rиi - Rи
(Rиi - Rи)2
100,056 -0,067 0,004489
100,066 -0,057 0,003249
100,076 -0,047 0,002209
100,086 -0,037 0,001369
100,086 -0,037 0,001369
100,096 -0,027 0,000729
100,106 -0,017 0,000289
100,126 0,003 0,000009
100,136 0,013 0,000169
100,146 0,023 0,000529
100,146 0,023 0,000529
100,156 0,033 0,001089
100,166 0,043 0,001849
100,166 0,043 0,001849
100,176 0,053 0,002809
100,176 0,053 0,002809
∑Roi = 1601,966
∑(Roi - Ro)2 = 0,02534
Rи= 116 i=116Rиi = 100,1229 мОм
SRи = 116∙(16-1)i=116(Rиi-100,1229)2 = 0,01028 мОм
Оценка СКО исправленных результатов измерений определяем по формуле:
SRи = 1n-1i=1n(Rиi-Rи)2, (3.5)
SRи = 116-1i=1n(Rиi-100,1229)2 = 0,0411 мОм
3
. Проверка результатов измерений на наличие грубых погрешностей.
Для проверки результатов измерений на наличие грубых погрешностей используем критерий Романовского.
Вычисляем отношение
Ru-RuiSRu = β, (3.6)
и полученное значение β сравниваем с теоретическим βт при заданном уровне значимости q. Если полученное значение β ≥ βт, результат измерения исключают и проверяют следующий и т.д. По новой выборке заново проводят все расчеты.
Для нашего примера при уровне значимости q = 1− Р = 0,05 и n = 16, табличный коэффициент βт = 2,64.
Проверим крайние значения результатов измерения Rиmax и Rиmin
100,1229-100,0560,0411 = 1,63<2,64
100,1229-100,1760,0411 = 1,29<2,64
т.е. все результаты измерений приняты.
4. Проверка гипотезы о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению.
Для проверки гипотезы используем составной критерий, т.к. число измерений n = 16. Уровень значимости проверки гипотез принять в зависимости от варианта q1= q2 =0,05.
Вычисляем статистику по формуле
d = i=1nRui-Runi=1n(Rui-Ru)2, (3.7)
Если при данном числе измерений n и выбранном уровне значимости q1 соблюдается условие
d1-0,5q < d ≤ d0,5q, (3.8)
то гипотеза о нормальности распределения на основании первого критерия принимается, если − нет, то отвергается.
В нашем случае по формуле
d = 0,57616 ·0,02534 = 0,9047
Из таблиц для n = 16 и q1 = 0,05 находим квантили d0,05 = 0,8884 и
d0,95 = 0,7236.
Сравнение статистики d с квантилями показывает, что 0,7236 < d = 0,9047
< 0,8884. Это означает, что в соответствии с первым критерием (при уровне значимости 0,05) результаты измерений не распределены по нормальному закону.
Гипотеза по второму критерию принимается, если не более m абсолютных разностей результатов измерений |Rиi – Ru| при заданном уровне значимости, превышают значение
tp·SRu, (3.9)
где tp – квантиль, соответствующая интегральной функции нормированного нормального распределения Ф(tp) = 0,5(1 + Р), определяемая по табл
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
