Обработка экспериментальных данных при изучении зависимостей

Рисунок 1 – Построение экспериментальных точек в осях координат X и Y
В качестве уравнения регрессии целесообразно использовать полином степени m
Y=A+B·X+C·X2+...+K·Xm
В первом приближении для решения данной задачи рекомендуется принять m=1, т.е.
Y=A+B·X
Определить параметры уравнения регрессии по методу наименьших квадратов. Для этого необходимо:
– составить систему уравнений по числу рассчитываемых параметров:
∂∆∂А=0; ∂∆∂В=0;∂∆∂С=0;…; ∂∆∆К=0
где А=(Yi-A-B∙X-C∙X2-...-K∙Xm)2
Для линейного уравнения регрессии система уравнений имеет вид:
BinXi2+AinXi=inXi∙YiBinXi+nA=inYi
– решить систему уравнений и определить неизвестные параметры.
Для линейного уравнения регрессии решение имеет вид:
B=nXi∙Yi-Xi∙YinXi2-(Xi)2;
A=Xi2∙Yi-Xi∙Xi∙YinXi2-(Xi)2;
B=20∙504322-925∙915020∙51125-855625=9.724;
A=51125∙9150-925∙50432220∙51125-855625=7.766
Проверяем правильность выбора вида уравнения регрессии.
Y=7.766+9.724∙X
Рассчитываем отклонение экспериментальных значений Ypi, рассчитанных для того же аргумента Xi по полученному уравнению регрессии.
Строим в осях координат Xi∆Y полученные значения ∆Yi для соответствующих Xi.
Таблица 5.2 – Полученные значения Y и ∆Yi
Y(X) ∆Yi
406,45 -1,45
416,174 1,826
425,898 5,102
435,622 6,378
445,346 3,654
455,07 0,93
464,794 3,206
474,518 0,482
484,242 0,758
493,966 -1,966
27,214 -6,214
124,454 -4,454
221,694 -6,694
318,934 2,066
416,174 1,826
513,414 4,586
610,654 2,346
707,894 2,106
805,134 -3,134
902,374 -11,374
Рисунок 2 – Построение ∆Yi в осях координат Xi∆Y
Число серий в полученной последовательности ∆Yi: N=7 (под серией понимают последовательность отклонений одного знака, перед и после которой следуют отклонения противоположного знака или не вообще никаких отклонений).
Задавшись доверительной вероятностью (уровень значимости α=1–p) для n=10 определить допустимые границы N1-0.5α=5 и N0.5α=16.
Рассчитываем число инверсий А в полученной последовательности ∆Yi:
A=A
А=7+9+11+11+6+4+6+2+2+1+2+3+1+6+3+4+3+1+1=77
Задавшись доверительной вероятностью Р=0.99 для n=20 определяем по таблице допустимые границы А1-0.5α=59 и А0.5α=130
Неравенства выполняются:
N1-0.5α<N≤N0.5α
5<6≤10
А1-0.5α<A≤А0.5α
59<60≤130
Следовательно, с выбранной доверительной вероятностью Р=0,99 можно считать, что отклонение экспериментальных значений Yi,от соответствующих значений Ypi найденного уравнения регрессии являются случайными, не содержат аддитивного, мультипликативного или колебательного трендов, т.е