Нужно записать исходную выборку в виде таблицы

Запишем выборку значений Х в виде таблицы:
Таблица 1
30,47 43,75 41,83 40,92 40,81 35,17 35,29 41,35 38,72 45,98
37,37 42,66 38,73 36,43 44,68 39,75 32,58 48,32 43,44 39,59
43,23 30,35 32,47 36,53 42,79 34,64 49,88 48,34 49,76 50,52
37,75 30,74 44,46 48,38 44,59 35,63 45,39 34,69 33,75 41,78
43,47 45,57 50,43 34,37 33,68 39,36 41,29 39,49 46,95 31,87
40,33 52,68 44,77 39,43 35,37 45,39 33,86 42,66 42,44 36,25
44,11 51,29 45,55 39,74 34,18 44,26 40,83 37,56 43,88 32,64
32,43 34,21 40,73 35,63 37,47 43,39 48,77 48,19 50,21 32,79
40,78 48,36 45,26 43,15 36,29 36,58 42,74 40,91 37,15 30,38
44,44 50,67 46,85 39,63 41,54 48,47 44,41 42,32 36,76 51,22
25,33 45,28 47,44 37,64 33,88 44,92 50,47 43,75 43,44 47,86
33,69 48,53 38,67 42,73 45,22 32,93 34,85 44,65 39,59 45,47
48,77 26,87 31,65 34,23 38,54 36,57 46,38 49,31 40,27 48,24
42,33 47,76 35,44 34,67 41,23 33,37 41,99 35,14 43,02 42,39
39,66 37,72 47,07 47,44 33,81 42,18 37,39 39,77 39,33 37,57
1.Проведем анализ вариации признака X (найдем оценки структурных характеристик: выборочное среднее, дисперсию, исправленное среднее квадратическое отклонение, моду, медиану, коэффициенты асимметрии и эксцесс.
Дана выборка объемом 150. Сгруппируем выборку и запишем ряды абсолютных и относительных частот. Для этого вычислим размах выборки:
R = Xmax - Xmin =52,68 – 25,33 = 27,35
Выберем число интервалов по формуле Стэрджесса:
,
тогда длина одного интервала равна
Группируем полученные данные и подсчитываем число элементов выборки, попавших в каждый интервал, при этом элемент, совпавший с верхней границей интервала группировки, относим к последующему интервалу. Результаты запишем в таблицу:
Таблица 2
Номера интервалов группировки Интервалы группировки Частоты Середина интервала Накопленная частота
0000
0000
mi
Хi’ fi
1 25,33 28,75 2 27,04 2
2 28,75 32,17 6 30,46 8
3 32,17 35,59 26 33,88 34
4 35,59 39,01 22 37,30 56
5 39,01 42,42 30 40,71 86
6 42,42 45,84 34 44,13 120
7 45,84 49,26 19 47,55 139
8 49,26 52,68 11 50,97 150
      n=150
Найдём характеристики вариации. Для этого таблицу можно расши-рить или сделать новую:
Таблица 3
i Середины интервалов,
X'i Частота
mi mixi'
mi(xi'-x)
mi(xi'-x)2
mi(xi'-x)3
mi(xi'-x)4
1 27,04 2 54,07875 -27,58 380,27 -5243,54 72302,92
2 30,46 6 182,74875 -62,22 645,25 -6691,35 69390,69
3 33,88 26 880,79875 -180,74 1256,39 -8733,76 60712,35
4 37,30 22 820,50375 -77,72 274,56 -969,94 3426,52
5 40,71 30 1221,43125 -3,42 0,39 -0,04 0,01
6 44,13 34 1500,52625 112,36 371,34 1227,19 4055,60
7 47,55 19 903,485625 127,75 858,91 5774,95 38828,09
8 50,97 11 560,676875 111,57 1131,53 11476,28 116395,74
Итого Σmi= 150 6124,25 0,00 4918,64 -3160,22 365111,91
Выборочную среднюю ищем по формуле:
Выборочную дисперсию для интервального ряда ищем по формуле:
Свойством несмещенности эта оценка не обладает. Для того, чтобы «исправить» этот недостаток, нужно умножить выборочную дисперсию на число nn-1. Тогда получится величина
s2=nn-1Dв=150150-1∙32,7909=33,0110,
называемая исправленной выборочной дисперсией.
Величины и s2 являются несмещёнными, состоятельными и эффек-тивными точечными оценками математического ожидания и дисперсии ге-неральной совокупности .
Исправленное среднее квадратическое отклонение
s=s2=33,0110=5,7455
В интервальном ряду распределения для нахождения медианы применяется формула:
,
где Ме медиана;
хМе нижняя граница медианного интервала;
hМе величина медианного интервала;
сумма частот;
sМе−1 сумма частот, накопленных в интервалах, предшествующих медианному;
fМе частота медианного интервала.
Медианным интервалом является интервал, накопленная частота которого равна или превышает половину суммы частот 150/2=75. Это интервал (39,01;42,42).
В интервальном ряду распределения интервал с наибольшей частотой называется модальным. Внутри этого интервала находят условное значение признака, вблизи которого плотность распределения достигает максимума. Это условное значение и считается точечной модой. Такая точечная мода располагается ближе к той из границ интервала, за которой частота в соседнем интервале больше частоты в интервале за другой границей модального интервала. Отсюда получаем формулу:
,
где Мо мода;
хМо нижняя граница модального интервала;
hМо величина модального интервала;
fМо частота модального интервала;
fМо-1 частота интервала, предшествующего модальному;
fМо+1 частота интервала, следующего за модальным.
Модальным интервалом является интервал с наибольшей частотой - это интервал (42,42;45,84). На нем частота 34.
Определим коэффициент асимметрии.
- центральный момент третьего порядка
Коэффициент асимметрии Пирсона
AsP=X-Mos=40,83-43,145,7455=-0,40
В нашей выборке присутствует левосторонняя асимметрия, в средней части несколько большая, чем по краям. Оценка близости распределения к нормальному выполняется:
As<26n(n-1)(n-2)(n+1)(n+3)=0,396
Асимметрия несущественна, ее наличие объясняется влиянием случайных обстоятельств.
Показатель эксцесса распределения рассчитывается по формуле:
Ex=μ4s4-3, где μ4=i=1nxi'-x4min
μ4=365111,91150=2434,0794
Ex=2434,07945,74554-3=2,23-3=-0,77
Ex<224nn-12n-3n-2n+3n+5=0,787
2.Представим выборку графически: построим полигон абсолютных частот и ненормированную гистограмму.
Полигон абсолютных частот – ломаная линия с вершинами в точках с координатами xi';mi
Построим ненормированную гистограмму. Для этого на оси абсцисс отложим промежутки, а на оси ординат – частоты.
3.Выдвинем и проверим с уровнем значимости α=0,05 гипотезу о нормальном законе распределения генеральной совокупности
Есть основания для предположения о том, что вид распределения будет близок к нормальному. Но будет ли расхождение частот значимым - покажет проверка по критерию Пирсона. По знаку полученного нами эксцесса можно сделать вывод о том, что если гипотеза будет принята, то форма эмпирической кривой будет более плосковершинной, чем форма стандартной кривой нормального распределения.
Выдвинем гипотезу о том, что распределение генеральной совокупности подчиняется нормальному закону. Для расчёта наблюдаемого значения критерия Пирсона заполняем таблицу в соответствии с формулой:χнабл.2=i=1m(ni-n∙pi)2n∙pi
Ранее были найдены выборочная средняя и исправленное среднее квадратическое отклонение:
х=40,83, s=5,7455.
Пологаем a=х=40,83, σ=s=5,7455.Теоретические вероятности попадания в рассматриваемые интервалы для нормального закона распределения выражаются через функцию Лапласа по формуле:
,
где - интегральная функция Лапласа –
находится по таблицам для
и
Первый интервал, содержащий 2 элемента, объединим со вторым.
Таблица 4
Интервалы
Частота
ni t1i t2i pi n·pi ni-npi2npi
25,33 32,17 8 -2,70 -1,51 -0,5000 -0,4341 0,0659 9,88 0,3570
32,17 35,59 26 -1,51 -0,91 -0,4341 -0,3192 0,1149 17,24 4,4514
35,59 39,01 22 -0,91 -0,32 -0,3192 -0,1245 0,1947 29,21 1,7778
39,01 42,42 30 -0,32 0,28 -0,1245 0,1094 0,2339 35,08 0,7362
42,42 45,84 34 0,28 0,87 0,1094 0,3086 0,1992 29,88 0,5673
45,84 49,26 19 0,87 1,47 0,3086 0,4289 0,1203 18,05 0,0502
49,26 52,68 11 1,47 2,06 0,4289 0,5000 0,0711 10,66 0,0106
  Сумма 150         1 150 7,95
При уровне значимости а = 0,05 и числе степеней свободык = 7 - 2 -1 = 4 критическое значение статистики χ2- Пирсона определяется по таблице χ2кр (0,05; 4) = 9,5.
Таким образом, значение статистики χ2кр Набл, вычисленное по выборке, не превосходит критического значения: 7,95 < 9,5, и это позволяет утверждать, что опытные данные на заданном уровне значимости не противоречат гипотезе о нормальном законе распределения