Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения Fx=0

А) найдем функцию плотности распределения вероятностей fX:
fX=F'X=0,x≤0sinx'=cosx,0<x≤π21'=0,x>π2⟹
fX=0,x≤0cosx,0<x≤π20,x>π2.
б) найдем характеристики случайной величины X.
Математическое ожидание:
MX=-∞+∞xf(x)dx=0π2x∙cosxdx=U=x,dU=dxdV=cosxdx,V=cosxdx=sinx=x∙sinx0π2-0π2sinxdx=π2∙sinπ2-0∙sin0+cosx0π2=π2+cosπ2-cos0=π2-1≈0,571.
Дисперсия:
DX=-∞+∞x-M(X)2f(x)dx=0π2x-π2+12∙cosxdx=U=x-π2+12,dU=2x-π2+1dxdV=cosxdx,V=cosxdx=sinx=x-π2+12∙sinx0π2-20π2x-π2+1∙sinxdx=π2-π2+12∙sinπ2-0-π2+12∙sin0-20π2x-π2+1∙sinxdx=1-20π2x-π2+1∙sinxdx=U=x-π2+1,dU=dxdV=sinxdx,V=sinxdx=-cosx=1-2∙x-π2+1∙-cosx0π2-0π2(-cosx)dx=1-2∙π2-π2+1∙-cosπ2-0-π2+1∙-cos0+0π2cosxdx=π-1-2∙sinx0π2=π-1-2∙sinπ2-sin0=π-3≈0,142.
Среднеквадратическое отклонение:
σX=D(X)=π-3≈0,376.
в) вероятность попадания случайной величины X в интервал π3;23π
Pπ3≤x≤23π=F23π-Fπ3=1-sinπ3=1-32≈0,134.
г) построим графики F(X) и fX
Функция распределения:
Плотность распределения:
Ответ: а) fX=0,x≤0cosx,0<x≤π20,x>π2; б) MX=π2-1≈0,571;DX=π-3≈0,142; σX=π-3≈0,376;в) Pπ3≤x≤23π=1-32≈0,134.