Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения F(x)

1) Для нахождения неопределенных коэффициентов A и B воспользуемся свойством непрерывности функции F(x)=P(X<x):
limx→-2-0Fx=limx→-2+0Fx=F-2;limx→2-0Fx=limx→2+0Fx=F2.
Так как limx→-2-0Fx=0 и limx→2+0Fx=1, то получаем:
F-2=0,F2=1; или A+Barcsin-1=0,A+Barcsin1=1; ⇔A+B∙π2=0,A+B∙π2=1;⇔A=12;B=1π.
Следовательно, Fx=0, если x≤-2,12+1πarcsinx2, если x∈-2;2,1, если x≥2.
Функция плотности fx=F'x, значит
fx=0, если x≤-2∪x≥2,1π4-x2, если x∈-2;2.
2) Вероятность того, что X окажется в промежутке -1;1, равна
P-1<X<1=F1-F-1=2πarcsin12=13.
3) Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X:
MX=-∞+∞xfxdx=-22x∙12+1πarcsinx2dx=12-22xdx+1π-22xarcsinx2dx
Второй интеграл:
1π-22xarcsinx2dx=u=arcsinx2du=11-x22∙12dv=xdxv=x22=x22arcsinx22 -2-12-22x21-x2dx=2arcsin1+2arcsin-1-2tdt=-2xdx⇒x4-x2-4arcsinπ24π2 -2=32-12=1
Дисперсию вычислим по формуле:
Dx=-∞+∞x2f(x)dx-Mx2
-22x212+1πarcsinx2dx=6arcsinx2+3πx2+4-x22x2+1618π2 -2=83-0=83
Dx=83-12=53
4) Модой непрерывной случайной величины X называется то ее значение, при котором плотность распределения максимальна