Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения F(x)

Функция распределения непрерывна, поэтому:
F0=0=A1-cos0 => A-любое
Fπ=1=A1-cosπ => A=12
Fx=0, x<01-cosx2, 0≤x≤π1, x>π
Плотность распределения найдем как производную от функции распределения:
fx=F'(x)=0, x<0sinx2, 0≤x≤π 1, x>π
Построим графики плотности и функции распределения:
Найдем вероятность попадания в интервал:
Pπ3<X<π2=Fπ2-Fπ3=1-cosπ22-1-cosπ32=12-14=14
Математическое ожидание найдем по формуле:
MX=-∞∞x∙f(x)dx=120πxsinxdx=
Применим формулу интегрирования по частям:
u=x dv=sinxdx
du=dx v=-cosx
=12-xcosxπ0+0πcosxdx=π2+12sinxπ0=π2
Дисперсию найдем по формуле:
DX=-∞∞x2∙fxdx-MX2=120πx2sinxdx-π24=
Применим формулу интегрирования по частям:
u=x2 dv=sinxdx
du=2xdx v=-cosx
=12-x2cosxπ0+20πxcosxdx-π24=π22+0πxcosxdx-π24=
Применим формулу интегрирования по частям:
u=x dv=cosxdx
du=dx v=sinx
=π22+xsinxπ0-0πsinxdx-π24=π24+cosxπ0=π24-1-1=π2-84
σX=D(X)=π2-84≈0,684