Найти значение функции с заданной точностью δ

Разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора по степеням х, используя формулу
ln1+x=x-x22+x33-x44+…+-1n-1xnn+…, -1<x≤1
Преобразуем подынтегральное выражение так, чтобы пределы интегрирования принадлежали области сходимости.
10100ln1+x∙xxxdx=10100ln1+1x+lnxxdx=10100ln1+1xxdx+10100lnxxdx=
=10100ln1+1xxdx+10100lnxd(lnx) =10100ln1+1xxdx+ln2x210100=
=10100ln1+1xxdx+ln2100-ln2102=10100ln1+1xxdx+7,952847.
Первый интеграл вычислим с помощью разложения в ряд:
ln1+1xx=1x2-12x3+13x4-14x5+…+-1n-11nxn+…, -1<x≤1.
20758151174115 ≤ 10-4 не суммируем
00 ≤ 10-4 не суммируем
3400425682625≤ 10-4 не суммируем
00≤ 10-4 не суммируем
Интегрируем почленно этот ряд в пределах от 10 до 100:
10100ln1+1xxdx=10100x-2-x-32+x-43-x-54+…dx=
=-1x+14x2-19∙x3+116∙x4-…10100=-0,01+0,000025-…-
--0,1+0,0025-0,000111+0,000006≈0,087611.
Ряд знакочередующийся, с учетом признака Лейбница:
10100ln1+xxdx≈0,087611+7,952847=8,040458.
Ответ: 10100ln1+xxdx=8,0405±0,0001.