Найти точки экстремума функции z=x3+y3-3xy+8

Z=x3+y3-3xy+8
Находим частные производные функции:
zx'=x3+y3-3xy+8x'=3x2-3y;
zy'=x3+y3-3xy+8y'=3y2-3x
Критические точки функции находим из системы уравнений:
3x2-3y=03y2-3x=0=>x2-y=0y2-x=0=>y=x2y2-x=0=>y=x2x4-x=0=>
=>y=x2xx3-1=0=>x=0;x=1y=0;y=1
Следовательно, данная функция имеет две критических точки O0;0,K(1;1)
Далее находим частные производные второго порядка и их значения в найденных критических точках:
A=zxx''=3x2-3y'x=3∙2x=6x;
B=∂2z∂x∂y=3x2-3yy'=-3;
C=∂2z∂y2=3y2-3x'y=3∙2y=6y
В точке O0;0:A=6∙0=0;B=-3;C=6∙0=0;
В точке K1;1:A=6∙1=6;B=-3;C=6∙1=6
Имеем
В точке O0;0
∆=AC-B2=0∙0--32=-9<0
Значит, в точке O0;0 нет экстремума
В точке K1;1
∆=AC-B2=6∙6--32=27>0
Так как ∆>0, A>0, то точка K(1;1)-точка минимума
zmin=13+13-3∙1∙1+8=7
Ответ: K(1;1)-точка минимума;zmin=7