Найти решение задачи Коши y'+yx=x+1xex y1=e

Y'+yx=x+1xex-
это линейное дифференциальное уравнение первого порядка.
Заменим: y=uv, y'=u'v+uv'. Получаем:
u'v+uv'+uvx=x+1xex;
u'v+uv'+vx=x+1xex;
Запишем систему уравнений:
v'+vx=0,u'v=x+1xex.
Из первого уравнения системы найдем функцию v:
dvdx=-vx;
dvv=-dxx;
lnv=-lnx;
v=1x.
Подставляем найденную функцию во второе уравнение системы:
u'1x=x+1xex;
dudx=x+1ex;
du=x+1exdx;
u=x+1ex-ex+C;
u=xex+C;
Записываем общее решение:
y=1xxex+C=ex+Cx.
Найдем частное решение при y1=e:
e=e1+C1 C=0;
Получили решение задачи Коши: y=ex.