Найти решение задачи Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка: y''-10y'+25y=4ex, y0=3, y'0=2

Сначала найдём решение соответствующего однородного уравнения:
k2-10k+25=0
D=100-4*1*25=100-100=0
k1,2=10±02=5
Тогда общее решение однородного уравнения выглядит так:
Y=C1e5x+C2xe5x
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в следующем виде:
y=Aex
Найдём первую и вторую производные от данного выражения:
y'=Aex'=Aex
y''=Aex'=Aex
Подставим в исходное уравнение полученные выражения:
Aex-10Aex+25Aex=4ex
16Aex=4ex
A=416=14
Тогда частное решение неоднородного уравнения выглядит так:
y=Aex=ex4
Тогда общее решение неоднородного уравнения выглядит так:
y=Y+y=C1e5x+C2xe5x+ex4
Чтобы найти решение задачи Коши, воспользуемся начальными условиями.
Сначала первое начальное условие:
y0=C1+14=3
C1=3-14=124-14=114
Найдём первую производную от полученного общего решения и применим второе начальное условие:
y'=C1e5x+C2xe5x+ex4'=5C1e5x+C2e5x+5C2xe5x+ex4
y'0=5C1+C2+14=2
5C1+C2=2-14=84-14=74
5*114+C2=74
554+C2=74
C2=74-554=-484=-12
Тогда искомое решение задачи Коши выглядит так:
y=114e5x-12xe5x+ex4