Найти решение дифференциального уравнения y''+9y'=9sin3x

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
y''+9y'=0,
Составим и решим характеристическое уравнение:
λ2+9λ=0, λλ+9=0
λ1=0, λ2=-9.
Общее решение имеет вид: yx=C1e0x+C2e-9x=C1+C2e-9x.
Далее, варьируем постоянные C1, C2, то есть ищем решение искомого уравнения в виде:
yx=C1x+C2xe-9x.
Подставляя предполагаемую форму решения в исходное уравнение, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными:
C1'xy1+C2'xy2=0,C1'xy1'+C2'xy2'=9sin3x, где y1=1, y2=e-9x.
Найдём производные:
y1'=0;
y2'=-9e-9x.
Итак, получаем систему алгебраических уравнений относительно C1'x, C2'x:
C1'x+C2'xe-9x=0,0-9e-9xC2'x=9sin3x,