Найти разложение вектора a-9 5 5 по базису p4
.pdf
Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥
Найти разложение вектора a-9;5;5 по базису p4;1;1,q2;0;-3,r-1;2;1
Проверить параллельность векторов c и d, если:
c=4a+3b,d=-b+8a, a=1;2;-3,b=2;-1;-1
Найти угол A в треугольнике ABC:A-1;2;-3,B3;4;-6,C1;1;-1
Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a, b, если:
a=3p+q, b=3p-4q, p=2,q=4, φ=π3
Проверить компланарность векторов: a1;-1;-3,b3;2;1,c2;3;4
Найти объем тетраэдра ABCD и длину высоты, опущенную из вершины D, если:
A2;1;4,B-1;5;-2,C-7;-3;1,D-6;-3;6
Нужно полное решение этой работы?
Решение
Вычислим определитель, составленный из координат векторов: p,q,r
∆=42-11021-31=4+3-2+24=29
Так как ∆≠0, то векторы p,q,r линейно независимы и образуют базис R3. Разложим вектор a по базису p,q,r:
a=x1p+x2q+x3r
В координатном виде:
-9;5;5=x14;1;1+x22;0;-3+x3-1;2;1
-9;5;5=4x1+2x2-x3;x1+2x3;x1-3x2+x3
Данному равенству соответствует система уравнений:
4x1+2x2-x3=-9x1+2x3=5x1-3x2+x3=5
Решим систему по формулам Крамера:
∆=42-11021-31=4+3-2+24=29∆1=-92-15025-31=20+15-10-54=-29
∆2=4-9-1152151=20-18-5+5+9-40=-29
∆3=42-91051-35=10+27-10+60=87
x1=-2929=-1; x2=-2929=-1; x3=8729=3
a=-p-q+3r
Координаты вектора a в базисе p,q,r: a=-1;-1;3
Найдем координаты векторов:
c=4a+3b=4∙1;2;-3+3∙2;-1;-1=4+6;8-3;-12-3=10;5;-15
d=-b+8a=-1∙2;-1;-1+8∙1;2;-3=-2+8;1+16;1-24=(6;17;-23)
Два вектора параллельны, если их соответствующие координаты пропорциональны:
106≠517≠-15-23
Векторы c и d не параллельны.
Угол A в треугольнике ABC найдем как угол между векторами AB и AC, используя определение скалярного произведения:
AB=xB-xA;yB-yA;zB-zA=3+1;4-2;-6+3=(4;2;-3)
AC=xC-xA;yC-yA;zC-zA=1+1;1-2;-1+3=(2;-1;2)
cosA=AB∙ACAB∙AC=4∙2+2∙-1+-3∙242+22+(-3)2∙22+(-1)2+22=0329=0
A=π2
Площадь параллелограмма, построенного на векторах a, b, найдем, используя свойство скалярного произведения:
S=a×b
a×b=3p+q×3p-4q=9p×p+3q×p-12p×q-4q×q=
=15p×q=15∙p∙q∙sinπ3=15∙2∙4∙32=603 (кв.ед.)
Три вектора компланарны, если их смешанное произведение равно нулю:
a×b∙c=1-1-3321234=8-2-27+12+12-3=0
Значит векторы a,b,c компланарны.
Запишем координаты следующих векторов:
AB=xB-xA;yB-yA;zB-zA=-1-2;5-1;-2-4=(-3;4;-6)
AC=xC-xA;yC-yA;zC-zA=-7-2;-3-1;1-4=(-9;-4;-3)
AD=xD-xA;yD-yA;zD-zA=-6-2;-3-1;6-4=(-8;-4;2)
Объем пирамиды, построенной на векторах AB, AC, AD найдем, используя свойство смешанного произведения:
V=16∙(AB×AC)∙AD
AB×AC∙AD=-34-6-9-4-3-8-42=24+96-216+192+72+36=204
V=2046=34 куб.ед
Найдем площадь треугольника, построенной на векторах AB, AC
S=12∙AB×AC
AB×AC=ijk-34-6-9-4-3=-12i+54j+12k+36k-9j-24i=-36i+45j+48k
AB×AC=(-36)2+452+482=1296+2025+2304=5625=75
S=752 кв.ед
Длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC найдем по формуле:
V=13∙S∙h => h=3VS=3∙34752=20475=6825=2,72 (ед.)
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
