Найти поток векторного поля a=xi+xz∙j+y∙k через замкнутую поверхность ограниченную поверхностями S1:x2+z2=4-z,z≥0 и S2:z=0. Бесплатный доступ к контрольной работе

Реферат.Справочник
Контрольные работы по высшей математике
Найти поток векторного поля a=xi+xz∙j+y∙k через замкнутую поверхность ограниченную поверхностями S1:x2+z2=4-z,z≥0 и S2:z=0

Найти поток векторного поля a=xi+xz∙j+y∙k через замкнутую поверхность ограниченную поверхностями S1:x2+z2=4-z,z≥0 и S2:z=0 .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти поток векторного поля a=xi+xz∙j+y∙k через замкнутую поверхность ограниченную поверхностями S1:x2+z2=4-z,z≥0и S2:z=0 в направлении внешней нормали (непосредственно и с помощью формулы Гаусса- Остроградского).

Ответ

П=8π.

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

П=Sands=S1ands+S2ands
где s=s1+s2
s1: x2+z2=4-z –часть поверхности эллиптического параболоида
s2: z=0 часть плоскости xOy.
П=П1+П2;
П1=s1ands;s1:x2+y2=4-z=>u=x2+y2+z-4.
Внешняя нормаль n⊥s1:
n=gradagrada=2xi+2yj+k4x2+4y2+1.
Так как вектор n образует с осью Oz острый угол,
n=2xi+2yj+k4x2+4y2+1 и cosγ=14x2+4y2+1>0.
Найдем поток П1:
П1=s1ands=s12x2+2xyz+y4x2+4y2+1ds
=σ1:x2+y2+z-4dσ=dxdycosγ=4x2+4y2+1dxdyDxy=прs1-кругx2+y2≤4=>ρ≤2=
=Dxy2x2+2xyz+ydxdy=Dxy2x2+2xy-x2-y2+4+ydxdy=
=02πdφ02ρ2ρ2cos2φ+2ρ2cosφsinφ-ρ2+4+ρsinφdρ=
=02πρ42cos2φ-ρ66sin2φ+ρ4sin2φ+ρ33sin2φ02dφ=
=02π8cos2φ-323sin2φ+16sin2φ+83sinφdφ
=02π41+cosφ-323sin2φ+16sin2φ+83sin2φdφ=8π
Найдем поток
П2=s2ands; n=-k=0;0-1, П1=a∙n=-y
П2=-s2yds=-02πdφ02ρcosφdρ=0
П=П1+П2=8π+0=8π.
Найдем поток, используя формулу Остроградского

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу