Найти общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка: xy'=3y3+4yx23y2+2x2

Xy'=3y3+4yx23y2+2x2,
xy'=y3y2+4x23y2+2x2.
Поделим обе части уравнения на x≠0, получим:
y'=yx3y2+4x23y2+2x2.
Поделим числитель и знаменатель правой части уравнения на x2≠0, получим:
y'=yx3yx2+43yx2+2.
Имеем однородное дифференциальное уравнение, поэтому произведем в нем следующую замену:
z=yx,y'=z+xdzdx.
z+xdzdx=z3z2+43z2+2,
xdzdx=3z3+4z-3z3-2z3z2+2,
xdzdx=2z3z2+2.
Имеем уравнение с разделяющимися переменными.
xdz=2z3z2+2dx,
3z2+22zdz=1xdx,
Найдем интеграл отдельно:
3z2+22zdz.
Разобьем исходный интеграл на сумму двух интегралов, каждый из которых представляет собой интеграл от табличной функции.
3z2+22zdz=32zdz+1zdz=34z2+lnz+C1,
где C1 – некоторое постоянное число.
Имеем:
34z2+lnz=lnx+C.
Сделаем обратную замену:
34yx2+lnyx=lnx+C,
34yx2+lny+lnx=lnx+C.
Отсюда общий интеграл дифференциального уравнения:
C=34yx2+lny.