Найти общее решение или общий интеграл уравнения

Запишем уравнение в явном виде, т.е. выразим y'
y'=ycosx*lny
Заменяем производную y' отношением дифференциалов y'=dydx:
dydx=ycosx*lny
Умножаем на dx, а затем умножаем на lny и делим на y:
lnydyy=dxcosx
Интегрируем и получаем общий интеграл:
lnydyy=dxcosx
Вычислим каждый интеграл отдельно:
lnydyy=t=lnydt=dyy=tdt=t22+C=ln2y2+C
dxcosx=cosxdxcos2x=cosxdx1-sin2x=t=sinxdt=cosxdx=dt1-t2=dt1-t1+t=*
Рассмотрим интегрирование правильной дроби . Для этого ее надо представить в виде суммы простейших дробей.
11-t1+t=A1-t+B1+t=A+At+B-Bt1-t1+t
Где А, В – неопределенные коэффициенты, так как
11-t1+t=tA-B+A+B1-t1+t
То для определения коэффициентов А, В получаем систему:
A-B=0,A+B=1.
A=B,B+B=1.
A=B,2B=1.
A=12,B=12.
Таким образом, правильная дробь представляется суммой двух простейших дробей:
11-t1+t=12*11-t+12*11+t
Выполним теперь интегрирование исходного интеграла:
*=12*11-t+12*11+tdt=12dt1-t+12dt1+t=12dt1-t+12ln1+t=u=1-tdu=-dt=-12duu+12ln1+t=-12lnu+12ln1+t+C=-12ln1-t+12ln1+t+C=-12ln1-sinx+12ln1+sinx+C=12ln1+sinx1-sinx+C
Следовательно, общий интеграл:
ln2y2=12ln1+sinx1-sinx+C
ln2y2-12ln1+sinx1-sinx=C
Ответ: Общий интеграл имеет вид: ln2y2-12ln1+sinx1-sinx=C