Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка. Бесплатный доступ к контрольной работе

Реферат.Справочник
Контрольные работы по высшей математике
Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка

Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка: y'-ycosx=-sin2x

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Дифференциальное уравнение y'-ycosx=-sin2x – линейное первого порядка. Для его решения используем метод Бернулли. Ищем решение в виде произведения двух функций y=u(x)∙v(x), тогда y'=u'v+uv'. Подставим и в заданное уравнение:
u'v+uv'-cosxuv=-sin2x
Группируем слагаемые, содержащие u и преобразуем:
u'v+uv'-cosxv=-sin2x(*)
Используя произвол в выборе функции v, полагаемv'-cosxv=0 . Откуда, разделяя переменные, получим:
dvdx-cosxv=0
dvdx=cosxv
dvv=cosxdx
dvv=cosxdx
lnv=sinx+C
lnv=lnCesinx
v=Cesinx
Еще раз используем произвольность выбора v, выбираем частное решение (при C=1): v=esinx.
Подставляем v=esinx в (*), получим:
u'v==-sin2x
u'esinx=-sin2x
dudx=-sin2xesinx
du=-sin2xesinxdx
du=-sin2xesinxdx
-sin2xesinxdx=-2sinxcosxesinxdx=-2sinxd(sinx)esinx=t=sinx=-2te-tdt=p=t, dp=dtdq=e-tdt, q=-e-t=-2-e-tt--e-tdt=-2-e-tt+e-tdt=-2-e-tt-e-t+C1=2sinxe-sinx+2e-sinx+2C1=2e-sinxsinx+1+2C1
u=2e-sinxsinx+1+2C1
Тогда y=uv=2e-sinxsinx+1+2C1esinx=2(sinx+1)+2C1esinx

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу