Найти область сходимости степенного ряда

Найдём радиус сходимости по формуле:
R=limn→∞anan+1
Выпишем n-й член ряда:
an=14n+12
Тогда (n+1)-й член ряда выглядит так:
an+1=14n+52
Вычислим предел:
R=limn→∞14n+1214n+52=limn→∞4n+524n+12=limn→∞16n2+40n+2516n2+8n+1=limn→∞16n2n2+40nn2+25n216n2n2+8nn2+1n2=limn→∞16+40n+25n216+8n+1n2=16+0+016+0+0=1616=1
Интервал сходимости степенного ряда имеет вид:
x∈(x0-R;x0+R)
где R-это радиус сходимости степенного ряда,
x0-число (центр ряда)
По условию известно, что:
x0=3
Тогда интервал сходимости степенного ряда выглядит так:
x∈2;4
Теперь исследуем сходимость ряда в граничных точках данного интервала:
При x=2 получаем ряд:
n=1∞-12n4n+12=n=1∞14n+12
Исследуем данный ряд на сходимость с помощью интегрального признака Коши, для этого вычислим следующий несобственный интеграл:
1∞dx4x+12=limb→∞1bdx4x+12=limb→∞141b4x+1-2d4x+1=limb→∞-116x+4|1b=120
Так как данный несобственный интеграл сходится, делаем вывод, что сходится и ряд в точке x=2.
В точке x=4 получаем ряд:
n=1∞14n+12
Получили тот же ряд, он является сходящимся.
Тогда искомая область сходимости исходного степенного ряда выглядит так:
x∈[2;4]