Найти общее и частное решения дифференциального уравнения

Это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Найдем общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения:
y''+3y'=0
Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:
k2+3k=0→kk+3=0→k1=-3,k2=0
Получили различные характеристические действительные корни, поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид:
yо=C1ek1x+C2ek2x=C1e-3x+C2e0x=C1e-3x+C2
Найдем частное решение неоднородного дифференциального уравнения по виду правой части . В правой части видим выражение вида:
fx=Ae-5x
Степень экспоненты не совпадает ни с одним характеристическим корнем, поэтому частное решение ищем в таком же виде:
yч=Ae-5x
Найдем нужные порядки производных:
yч'=Ae-5x'=Ae-5x-5x'=-5Ae-5x
yч''=-5Ae-5x'=-5Ae-5x-5x'=25Ae-5x
Подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
25Ae-5x+3∙-5Ae-5x=e-5x
25Ae-5x-15Ae-5x=e-5x
10Ae-5x=e-5x
10A=1→=A=110
Частное решение неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:
yч=e-5x10
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:
y=yo+yч=C1e-3x+C2+e-5x10
Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, найдем производную от общего решения:
y'=C1e-3x+C2+e-5x10'=C1e-3x'+C2'+110e-5x'=
=C1e-3x-3x'+0+e-5x10-5x'=-3C1e-3x-5e-5x10=
=-3C1e-3x-e-5x2
Решим систему уравнений при начальных условиях:
y=C1e-3x+C2+e-5x10y'=-3C1e-3x-e-5x2
1=C1e-3∙0+C2+e-5∙0101=-3C1e-3∙0-e-5∙02
1=C1+C2+1101=-3C1-12
C1+C2=9103C1=-32
C2=910-C1=910+12=910+510=1410=75C1=-12
Частное решение имеет вид:
y=-e-3x2+75+e-5x10