Найти область сходимости ряда: n=1∞(2x-1)nn(n+1). Бесплатный доступ к контрольной работе

Реферат.Справочник
Контрольные работы по высшей математике
Найти область сходимости ряда: n=1∞(2x-1)nn(n+1)

Найти область сходимости ряда: n=1∞(2x-1)nn(n+1) .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти область сходимости ряда: n=1∞(2x-1)nn(n+1)

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Интервал сходимости степенного ряда найдем с помощью признака Даламбера:
un=(2x-1)nn(n+1) un+1=(2x-1)n+1(n+1)(n+2)=(2x-1)n∙(2x-1)(n+2)(n+1)
limn→∞ un+1un=limn→∞(2x-1)n∙(2x-1)(n+2)(n+1)∙n(n+1)(2x-1)n=2x-1∙limn→∞n(n+1)(n+2)(n+1)=
=2x-1
Ряд сходится при
2x-1<1 0 Исследуем ряд на сходимость на концах интервала:
x=0
n=1∞(2x-1)nn(n+1)=n=1∞(-1)nn(n+1)
Это знакочередующийся ряд . Предел абсолютного значения члена ряда убывает к нулю, при этом это убывание монотонно, так как знаменатель каждого следующего члена ряда больше, чем предыдущего:
limn→∞1nn+1=0
По признаку Лейбница ряд сходится.
Исследуем на сходимость ряд, составленный из модулей исходного ряда:
n=1∞1nn+1
Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом:
an=1nn+1 bn=1n
limn→∞bnan=limn→∞nn+1n=limn→∞n1+1nn=limn→∞1+1n=1
Получили конечное, отличное от нуля число

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу