Найти неопределенные интегралы sin2xdx1+cos2x

Преобразуем подынтегральное выражение:
sin2xdx1+cos2x=2sinxcosx1+cos2xdx=
Выполним замену переменных:
1+cos2x=t -2cosxsinx=dt
=-dtt=-2t+C=-21+cos2x+C
Используем тригонометрическую формулу понижения степени косинуса:
x2cos2xdx=12x21+cos2xdx=12x2dx+12x2cos2xdx=
Для второго интеграла применим формулу интегрирования по частям:
u=x2 dv=cos2xdx
du=2xdx v=12sin2x
=16x3+14x2sin2x-12xsin2xdx=
Применим формулу интегрирования по частям еще раз:
u=x dv=sin2xdx
du=dx v=-12cos2xdx
=16x3+14x2sin2x+14xcos2x-14cos2xdx=
=16x3+14x2sin2x+14xcos2x-18sin2x+C
Разложим подынтегральную дробь на сумму простейших дробей:
1x4-1=1x2-1x2+1=1x-1x+1x2+1=Ax-1+Bx+1+Cx+Dx2+1=
=Ax+1x2+1+Bx-1x2+1+Cx+Dx2-1x-1x+1x2+1=
=x3A+B+C+x2A-B+D+xA+B-C+A-B-Dx-1x+1x2+1
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях переменной x в числителе левой и правой части:
A+B+C=0A-B+D=0A+B-C=0A-B-D=1
Вычтем из первого уравнения второе, сложим второе и четвертое уравнения:
A+B+C=0A-B+D=02C=02A-2B=1 A+B=0A-B+D=0C=02A-2B=1 A=-B-2B+D=0-4B=1C=0
A=14B=-14C=0D=-12
1x4-1=14∙1x-1-14∙1x+1-12∙1x2+1
dxx4-1=14dxx-1-14∙dxx+1-12dxx2+1=
=14lnx-1-14∙lnx+1+12arctg x+C=14lnx-1x+1-12arctg x+C