Найти наибольшее и наименьшее значение функции z=x2+y2-4xy-4 в квадрате: 0≤x≤4, 0≤y≤4

Построим указанную область на чертеже:
Найдем стационарные точки из условия:
∂z∂x=0∂z∂y=0
∂z∂x=x2+y2-4xy-4x'=2x-4y
∂z∂y=x2+y2-4xy-4y'=2y-4x
2x-4y=02y-4x=0 y=0x=0 M1(0;0)
Точка M1(0;0) принадлежит области
Запишем угловые точки:
M20;4, M34;4, M44;0
Исследуем границу области:
x=0 y∈0;4
z=y2-4 ∂z∂y=2y 2y=0 => y=0 M1(0;0)
y=0 x∈0;4
z=x2-4 ∂z∂x=2x 2x=0 => x=0 M1(0;0)
x=4 y∈0;4
z=y2-16y+12 ∂z∂y=2y-16 2y-16=0 y=8
Точка не принадлежит области
y=4 x∈0;4
z=x2-16x+12 ∂z∂x=2x-16 2x-16=0 x=8
Точка не принадлежит области
Находим значение функции в получившихся точках:
zM1=z0;0=-4
zM2=z0;4=12
zM3=z4;4=-36
zM4=z4;0=12
Таким образом,
zmax=zM2=zM4=12
zmin=zM3=-36