Найти коэффициенты регрессии методом наименьших квадратов.

Уравнение модели, связывающее затраты и объем продаж, имеет вид
y=a0 +a1 x
Рассчитаем коэффициенты регрессии по формулам
, .
Для этого вычислить xiyi, xi2, yi2, заполнить третий, четвертый и пятый столбцы таблицы, а затем найти сумму и среднее арифметическое этих столбцов. Тогда коэффициенты регрессии будут равны
Таким образом, уравнение регрессии имеет вид
yпр=315.528+8.664x.
Таблица 1
№ пп
xi yi
xiyi
xi2 yi2 yiпр
ei
1 1 127,32 127,32 1 16210,382 145,22 -17,9
2 2 187,36 374,72 4 35103,77 183,71 3,651
3 3 223,32 669,96 9 49871,822 222,2 1,118
4 4 286,12 1144,48 16 81864,654 260,7 25,425
5 5 282,72 1413,60 25 79930,598 299,19 -16,47
6 6 351,12 2106,72 36 123285,25 337,68 13,439
7 7 371,44 2600,08 49 137967,67 376,17 -4,734
8 8 428,12 3424,96 64 183286,73 414,67 13,453
9 9 440,44 3963,96 81 193987,39 453,16 -12,72
10 10 486,36 4863,60 100 236546,05 491,65 -5,293
Сумма по строкам 55 3184,3 20689,40 385 1138054,33    
Среднее значение по строкам 5,5 318,43 2068,94 38,5 113805,43    
Уравнение регрессии позволяет вычислить прогноз средних затрат yср(x) при любом объеме продаж x. При x=1 реальные затраты составят
y(1)= 127.32 у.е.,
а их прогноз yпр(1)=106.723+38.4931=145.22 у. е.
Расхождение между фактическими и прогнозируемыми затратами называют остатками ei. При x=1 остаток составит величину
e1=y1-yпр(1)=127.32-145.22=-17.9
Аналогичным образом вычисляем приближенные значения yпр и e для х=2,3,…10.
Все значения yiпр и остатки ei помещены в двух последних столбцах табл. 1. Ниже построен график линии регрессии и точками отмечены исходные данные .
Для дисперсии 2 найдем ее оценку s2 по формуле
Тогда стандартная ошибка
Теперь можно сравнить заданные параметры варианта с коэффициентами уравнения регрессии и стандартное отклонение со стандартной ошибкой s:
параметр a0=130, а его оценка b0=106.723,
параметр a1=35, а его оценка b1=38.493,
параметр =40, а его оценка s=15.11.
В нашем примере сравнение показывает относительную близость параметров и их оценок. Используя предположение о нормальном распределении отклонений u фактических затрат от средних, можно оценить степень отклонения оценок от параметров.
Проверка гипотез о значении средних удельных затрат
Докажем, что коэффициент регрессии b1 имеет математическое ожидание a1 и стандартное отклонение.
Для стандартной ошибки коэффициента b1 =38.493
Экономически коэффициент a1=35 означает средние удельные затраты (средние затраты на реализацию одной единицы продукции), а коэффициент регрессии b1=38.493– приближенное значение средних удельных затрат.
Проверим статистическую гипотезу о том, что отклонение коэффициента регрессии b1=38.493 от значения a1=35 незначительно. Сформулируем две взаимоисключающих гипотезы:
нулевая гипотеза H0: a1=35;
альтернативная гипотеза H1: a135.
Нулевая гипотеза H0 означает, что расхождение между оценкой средних удельных затрат b1=38.493 и точным значением средних удельных затрат a1=35 незначительно.
Возьмем уровень значимости =0,05, т. е. при принятии гипотез допускаем 5 % ошибочных решений. По табл. В приложения квантилей t-распределения при числе степеней свободы n-2=8 найдем критическое значение t(8)=2.306