Найти экстремумы функции относительно уравнения связи

Воспользуемся методом неопределённых коэффициентов. Составим функцию Лагранжа.
L=u+λφ=x2+y2+8y+λ⋅y-x-4
Приравняем к нулю градиент (вектор первых производных) (необходимое условие экстремума).
∂L∂x=2x-λ=0, ∂L∂y=2y+8+λ=0, y-x=4
x y λ 20-1021-110 0-84∼20-1220-110 0-84∼20-1110020 0-40∼∼-201100010 0-40∼001100010 -8-40
λ=-8, x=-4, y=0
Одна точка возможного экстремума с координатами (x, y) = (−4; 0), λ = −8.
Найдём квадратичную форму 2-го дифференциала функции с учётом уравнении связи в точке экстремума.
φ=y-x-4=0, ∂φ∂x=-1, ∂φ∂y=1
∂φ∂xdx+∂φ∂ydy=0, dy0;-4=-∂φ∂x∂φ∂y0;-4⋅dx=--11dx=1dx
∂2u∂x2=2, ∂2u∂y2=2, ∂2u∂x∂y=0
d2u0;-4φ=0=∂2u∂x2dx2+∂2u∂y2dy2+2∂2u∂x∂ydxdy0;-4φ=0==2dx2+2⋅1⋅dx2+0=4dx2 >0
В данном случае при вычитании из числа переменных количества связей получаем 1, и соответственно квадратичная форма вырождается в случай одной независимой переменной