Найти экстремаль функционала I[y]=-12y'(1+x2y')dx при заданных граничных условиях: y-1=1, y2=4 . Бесплатный доступ к контрольной работе

Реферат.Справочник
Контрольные работы по высшей математике
Найти экстремаль функционала I[y]=-12y'(1+x2y')dx при заданных граничных условиях: y-1=1, y2=4

Найти экстремаль функционала I[y]=-12y'(1+x2y')dx при заданных граничных условиях: y-1=1, y2=4 .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти экстремаль функционала I[y]=-12y'(1+x2y')dx при заданных граничных условиях: y-1=1, y2=4.

Ответ

yx=2x+3.

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Запишем уравнение Эйлера: Fy(x,y,y')-ddxFy'(x,y,y')=0.
Т.к. F(x,y,y')=y'(1+x2y'),
Fyx,y,y'=0,
Fy'(x,y,y')=1+2x2y',
ddxFy'x,y,y'=4xy'+x2y'',
то получаем -4xy'-2x2y''=0 или 2xy'+x2y''=0.
В полученное уравнение не входит функция y, поэтому порядок уравнения можно понизить . Пусть y'=z(y), получим:
2xz+x2z'=0;
z'z=-2xx2;
z'z=-2x;
dzz=-2xdx.
Интегрируем обе части уравнения:
dzz=-2xdx;
lnz=-2lnx+lnC;
lnz=-lnx2+lnC;
lnz=lnCx2;
z=Cx2.
Поскольку y'=z(y), то y'=Cx2, отсюда
yx=Cx2dx=-Cx+C1=C2x+C1.
Подставим граничные условия:
y-1=C2-1+C1=-C2+C1=1;
y2=C22+C1=4;
Из первого уравнения выразим C1=1+C2 и подставим во второе уравнение: C22+1+C2=4, отсюда 3C22=3, тогда C2=2, C1=3.
Получим решение: yx=2x+3.
Ответ: yx=2x+3.

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу