Найти частное решение линейного дифференциального уравнения

Сначала найдём решение соответствующего однородного уравнения, для этого составим характеристическое уравнение и найдём его корни:
k2+1=0
k2=-1
k1,2=±i
Так как получились чисто мнимые сопряжённые комплексные корни, общее решение однородного уравнения выглядит так:
Y=C1cosx+C2sinx
Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:
y=Asin2x+Bcos2x
Найдём первую и вторую производные:
y'=2Acos2x-2Bsin2x
y''=-4Asin2x-4Bcos2x
Подставим в уравнение данные выражения:
-4Asin2x-4Bcos2x+Asin2x+Bcos2x=-sin2x
-3Asin2x-3Bcos2x=-sin2x
Получаем систему уравнений:
-3A=-1-3B=0→A=13B=0
Тогда частное решение неоднородного уравнения выглядит так:
y=13sin2x
Общее решение неоднородного уравнения выглядит так:
y=Y+y=C1cosx+C2sinx+13sin2x
Чтобы найти частное решение, сначала найдём первую производную от полученного общего решения:
y'=-C1sinx+C2cosx+23cos2x
Теперь воспользуемся начальными условиями:
y0=C1=1
y'0=C2+23=1
Решим полученную систему:
C1=1C2+23=1→C1=1C2=1-23=13
Тогда искомое частное решение выглядит так:
y=cosx+13sinx+13sin2x