Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка

Уравнение y''-4y=8x3 – линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. По основной теореме теории линейных уравнений общее решение y линейного неоднородного уравнения равно сумме общего решения y соответствующего однородного уравнения и частного решения y данного неоднородного уравнения: y=y+y.
Решаем соответствующее однородное уравнение y''-4y=0. Это линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами . Составляем характеристическое уравнение:
λ2-4=0
λ1=-2, λ2=2
Общее решение соответствующего однородного уравнения y''-4y=0 имеет вид: y=C1e-2x+C2e2x.
Частное решение исходного неоднородного уравнения y''-4y=8x3 ищем по виду правой части: y=Ax3+Bx2+Cx+D – линейно независимо от y. Найдем первую и вторую производную:
y'=Ax3+Bx2+Cx+D'=3Ax2+2Bx+C
y''=3Ax2+2Bx+C'=6Ax+2B
Подставим y и y'' в левую часть неоднородного уравнения:
6Ax+2B-4Ax3+Bx2+Cx+D=-4Ax3-4Bx2+6A-4Cx+2B-4D=8x3
Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях, составим и систему уравнений и решим ее:
-4A=8 -4B=0 6A-4C=02B-4D=0⟹A=-2 B=0 -12-4C=0-4D=0 ⇒A=-2B=0 C=-3D=0
Подставляем найденные значения A, B, C, D в наш исходный подбор частного решения
y=-2x3-3x
Следовательно, общее решение данного уравнения таково:
y=y+y=C1e-2x+C2e2x-2x3-3x
Для нахождения частного решения исходного уравнения воспользуемся начальными условиями:
y0=2 y'0=-3⇒C1e-2∙0+C2e2∙0-2∙03-3∙0=2 -2C1e-2∙0+2C2e2∙0-6x∙02-3=-3⟹C1+C2=2 -2C1+2C2-3=-3⟹C1+C2=2C1-C2=0⟹С1=1С2=1
Таким образом, частное решение имеет вид
y=e-2x+e2x-2x3-3x