Найти решение задачи Коши y'''+3y''+3y'+y=0

Составим характеристическое уравнениеи найдём его корни
λ3+3λ2+3λ+1=λ+13=0
Получили один действительный корень λ=-1 кратности 3.
Общее решение однородного уравнения будет
yx=C1e-x+C2xe-x+C3x2e-x=e-xC1+C2x+C3x2.
Найдем решение задачи Коши.
y'x=-e-xC1+C2x+C3x2+e-xC2+2C3x=e-x-C1+C21-x+C32x-x2
y''x=-e-x-C1+C21-x+C32x-x2+e-x-C2+C32-2x=
=e-xC1+C2x-2+C3x2-4x+2
Согласно начальным условиям, получим:
y0=C1=-1 ;y0=-C1+C2=0 ;y''0=C1-2C2+2C3=1 ;⟹C1=-1;C2=-1;C3=0.
Решение задачи Коши:
yx=-e-x1+x.
Ответ: yx=-e-x1+x.