Найти решение задачи Коши y'+2xy1+x2=2x21+x2

Решим данное уравнение с помощью метода Бернулли, сделаем замену:
y=uv
Тогда:
y'=u'v+uv'
Подставляем в уравнение:
u'v+uv'+2xuv1+x2=2x21+x2
u'v+uv'+2xv1+x2=2x21+x2
Получаем систему уравнений:
v'+2xv1+x2=0u'v=2x21+x2
Решим первое уравнение системы:
v'+2xv1+x2=0
dvdx=-2xv1+x2
dvv=-2x1+x2dx
dvv=-2x1+x2dx
lnv=-d(1+x2)1+x2
lnv=-ln1+x2
lnv=ln11+x2
v=11+x2
Подставим полученное решение во второе уравнение системы, получим:
u'*11+x2=2x21+x2
u'=2x2
du=2x2dx
u=2x33+C
Тогда сделаем обратную замену и получим общее решение исходного дифференциального уравнения:
y=uv=11+x2*2x33+C
Теперь найдём решение задачи Коши, для этого воспользуемся начальным условием:
y0=11+0*0+C=23
C=23
Тогда решение задачи Коши выглядит так:
y=11+x2*2x33+23=2(x3+1)3(x2+1)