Найти первый dU и второй d2U дифференциалы функции U в точке M0

U=xyM0(40.5)M(3.950.51)
Найдем частные производные первого порядка
∂U∂x=y∙xy-1
∂U∂y=xy∙lnx
Тогда первый дифференциал функции равен
dU=∂U∂x∙dx+∂U∂y∙dy=y∙xy-1∙dx+xy∙lnx∙dy
Найдем частные производные второго порядка и смешанную частную:
∂2U∂x2=0∙xy-1+y∙y-1∙xy-2=y∙y-1∙xy-2
∂2U∂y2=xy∙lnx∙lnx+xy∙0=xy∙ln2x
∂2U∂x∂y=xy∙yxy'=xy∙lnx∙yx+xy∙1x=xy∙y∙lnxx+xyx=xy-1∙y∙lnx+1
Тогда второй дифференциал функции равен
d2U=∂2U∂x2∙dx2+2∙∂2U∂x∂y∙dxdy+∂2U∂y2∙dy2=y∙y-1∙xy-2∙dx2+2∙xy-1∙y∙lnx+1∙dxdy+xy∙ln2x∙dy2
Формула Тейлора второго порядка для функции fx,y в окрестности точки M0x0,y0 имеет вид:
fx,y=fx0,y0+11!∙∂fx0,y0∂x∙x-x0+∂fx0,y0∂y∙y-y0+12!∙∂2fx0,y0∂x2∙x-x02+2∙∂2fx0,y0∂x∂y∙x-x0∙y-y0+∂2fx0,y0∂y2∙y-y02+oρ2
Для заданной функции U найдём значение функции и значения частных производных функции до второго порядка включительно в точке M0(40.5):
fx0,y0=U4,0.5=xy=40.5=4=2
∂U∂x=y∙xy-1=12∙412-1=12∙4-12=12∙4=12∙2=14
∂U∂y=xy∙lnx=40.5∙ln4=2∙ln4
∂2U∂x2=y∙y-1∙xy-2=12∙12-1∙412-2=12∙-12∙4-32=-14∙143=-14∙14∙4=-14∙14∙2=-14∙18=-132=-0.03125‬
∂2U∂y2=xy∙ln2x=40.5∙ln24=2∙ln24
∂2U∂x∂y=xy-1∙y∙lnx+1=412-1∙12∙ln4+1=12∙12∙ln4+1
Запишем формулу Тейлора второго порядка для заданной функции
U=2+14∙x-4+2∙ln4∙y-12+12∙-132∙x-42+12∙ln4+1∙x-4∙y-12+2∙ln24∙y-122+ox-42+y-122
Найдём приближённое значение UM, отбросив в последнем равенстве остаточный член oρ2:
UM=2+14∙3.95-4+2∙ln4∙0.51-0.5+12∙-132∙3.95-42+12∙ln4+1∙3.95-4∙0.51-0.5+2∙ln24∙0.51-0.52=2+14∙-0.05+2∙ln4∙0.01+12∙-132∙-0.052+12∙ln4+1∙-0.05∙0.01+2∙ln24∙0.012≈2-0.0125+0.0277+12∙-132∙0.0025+1.6931∙-0,0005+3.8436∙0.0001=2.0152+12∙-0.000078125-0.00084655+0.00038436=2.0152+12∙-0,000540315=2.0152-0.0002701575=2.0149298425